Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ x 2   s e n a x d x

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora ver mais essa integral aqui!

∫ x 2   s e n a x d x

Temos uma multiplicação entre funções diferentes, então uma boa ideia é usar integração por partes, que tem essa forma aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar decidindo quem é u e quem é d v na nossa integral...

Passo 2

Vamos chamar:

u = x 2

d v = s e n a x d x

Na fórmula de integração pro partes precisamos de d u e de v também. Derivando u e integrando d v , temos:

d u = 2 x d x

v = - 1 a c o s ⁡ ( a x )

Passo 3

Vamos substituir agora na fórmula de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 s e n a x d x = x 2 - 1 a cos ⁡ a x - ∫ - 1 a cos ⁡ a x 2 x d x

Arrumando um pouco:

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

Passo 4

Agora sobrou uma outra integral que temos que fazer por partes de novo, que é essa aqui

∫ x c o s a x d x

Então as substituições são:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ a x d x → v = 1 a s e n a x

A integral vai ficar

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - ∫ 1 a s e n a x d x

E a última integral dá pra fazer com uma substituição simples e teremos: 😉

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - 1 a - 1 a cos ⁡ a x

∫ x c o s a x d x = x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

Passo 5

Juntando tudo ficamos com:

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

Agora vamos fazer a multiplicação distributiva do 2 a , ficando com:

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x

Não pode esquecer a constante de integral, hein!

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C

Prontinho! Integral calculada.😉

Resposta

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C