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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Exercício 31245678910

Enunciado

Calcule ∫ 1 3 l n ⁡ ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln ⁡ 3 - 5

(b) l n ⁡ ( 3 )

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

(d) 2 ln ⁡ 2 - 1

(e) 2

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma, a ln ⁡ ( x ) .

Mas tranquilo! Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 ! ∫ 1 3 l n ⁡ ( x ) . 1   d x

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln ⁡ x      

d v = 1   d x          

Passo 2

Como a gente precisa de d u e v , vamos derivar u e integrar d v :

d u = ln ⁡ x ' = 1 x   d x

v = ∫ 1   d x = x

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x . ln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x

Simplificando o x ⋅ 1 x , temos 1, então na verdade temos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - ∫ 1   d x

Resolvendo essa última integral, teremos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - x + C

Então...

∫ l n ⁡ ( x ) = x   l n x - x + C

Passo 3

Beleza! Agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 , lembrando que a gente substitui o valor maior e subtrai com o valor menor:

∫ 1 3 ln ⁡ x   d x

= x ln ⁡ x - x 1 3

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - 1 ln ⁡ 1 - 1

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - ln ⁡ 1 + 1

Temos que ln ⁡ 1 = 0 , e - 3 + 1 = - 2 , então...

= 3 ln ⁡ 3 - 2

Prontinho! Esse é o valor da integral.

Resposta

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2