Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t

Passo 1

Faaaaala! Vamo que vamo que é nossa reta final de integração por partes

O enunciado já nos deu o caminho das pedras. Precisamos calcular a integral dada fazendo primeiro uma substituição, e em seguida tentando uma integração por partes.

Antes de tentarmos integrar, vamos lembrar que s e n   2 t = 2   s e n   t cos ⁡ t . Assim,

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 0 π cos ⁡ t   e cos ⁡ t   s e n   t   d t

Fazendo a substituição

x = cos ⁡ t → d x = - s e n   t   d t

e, além disso, vamos mudar os limites de integração já que estamos mudando a variável de integração.

t = 0 → x = cos ⁡ 0 →   x = 1

t = π → cos ⁡ π → x = - 1

Passo 2

Desta forma, nossa integral pode ser escrita assim:

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 1 - 1 x   e x   - d x

Podemos também, trocar o sinal da integral, invertendo os limites de integração!! Ficando com:

= 2   ∫ - 1 1 x   e x   d x

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes, pois temos um produto de duas funções de tipos diferentes:

Lembra da fórmula?

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 3

Queremos resolver a integral ∫ - 1 1 x   e x   d x .

Para isso, vamos chamar de

u = x

d v = e x

Assim,

d u = d x

v = e x

Colocando isso na fórmula de integração por partes, temos:

∫ - 1 1 x   e x   d x = x   e x - 1 1 - ∫ - 1 1 e x   d x

Aplicando os limites e resolvendo a integral, ficamos com:

= 1 e 1 - - 1 ⋅ e - 1 - e x - 1 1

Isso dá pra gente:

= e + 1 e - e + 1 e

= 2 e

Passo 4

Maaaaaaaaaaaas calma ai! Lembra que a nossa integral é

2   ∫ 0 π cos ⁡ t   e cos ⁡ t   s e n   t   d t

Então temos que multiplicar esse valor que achamos por 2

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ - 1 1 x   e x   d x = 2 ⋅ 2 e = 4 e

Agora sim hehe!

Resposta

4 e