Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ arctg ⁡ 4 t d t

Passo 1

E aí, tudo bem?

A gente não sabe calcular essa integral assim de cara né? Então vamos usar Integração por Partes, quem tem essa cara aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos decidir quem da nossa integral nós vamos chamar de u e qual vamos chamar de d v .

Passo 2

Como não sabemos integrar a r c t g   4 t , ele vai ser nosso u , aí basta derivar e teremos o d u :

u = arctg ⁡ 4 t

d u = 4 1 + 4 t 2 d t

E então nosso d v = d t , e integrando temos:

d v = d t

v = t

Show! Vamos substituir na fórmula agora!

Passo 3

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - ∫ t 4 1 + 4 t 2 d t

Precisaremos resolver essa última integral. E pra ajudar a gente com isso, podemos fazer a multiplicação dela por 8 em cima e embaixo, sem alterar a integral:

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 8.4 t 1 + 16 t 2 d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t

Com essa multiplicação, teremos uma integral um pouco mais simples de resolver, porque poderemos fazer uma substituição simples, vamos lá.

Passo 4

Agora vamos usar uma substituição:

u = 1 + 16 t 2

d u = 32 t   d t

Vamos substituir agora:

∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = ∫ 1 u   d u

E essa aí é daquelas basiquinhas que tem até nas tabelinhas!

Passo 5

Resolvendo aquela integral ali de cima:

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

= ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

Passo 6

Agora a gente volta esse resultado na expressão do Passo 3:

∫ arctg ⁡ 4 t d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

E prontinho! Resolvemos nossa integral😉

Resposta

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C