Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ sen - 1 ⁡ x d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Primeiramente a gente tem que entender esse - 1 no expoente do seno ali. Lembra o seguinte: sempre que temos - 1 num expoente, quer dizer que aquela função está ao inverso.

Então... s e n - 1 x na verdade é a inversa de s e n   x . Você lembra qual função é essa?

Essa aqui:

s e n - 1 x = a r c s e n   x

Então nossa integral na verdade é:

∫ a r c s e n   x   d x

Então vamos usá-la assim, pra poder resolver.

Passo 2

Vamos lá, a gente vai usar integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Parece estranho usar isso já que a gente não tem duas funções ali dentro, mas na verdade a gente pode colocar o 1 pra acompanha ela e fazer isso aqui:

∫ a r c s e n   x . 1 d x

E chamar:

u = a r c s e n   x

d v = 1 d x

Beleza? Vamos continuar...

Passo 3

Agora a gente precisa achar d u e v pra também usar na fórmula. Pra isso, vamos derivar u e integrar d v :

d u = a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

(essa derivada é tabelada😉)

e

v = ∫ d v = ∫ d x = x + C

Ótimo! Agora podemos substituir isso na fórmula de integração de partes...

Passo 4

Vamos substituir aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ a r c s e n   x   d x = x a r c s e n   x - ∫ x ⋅ 1 1 - x 2 d x

= x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos resolver agora aquela integral que ficou ali no final...

Passo 5

Pra resolver essa:

∫ x 1 - x 2 d x

A gente pode usar uma substituição simples, chamando:

t = 1 - x 2

E fazendo:

d t =   - 2 x   d x →   - d t 2 = x   d x

E então teremos:

∫ - d t 2 t  

A gente pode retirar a constante:

= - 1 2 ∫ d t t

E escrever o 1 / t como t - 1 2 . Isso é o mesmo que:

= - 1 2 ∫ t - 1 2   d t

E aí a gente integra pela regra da potência que diz que

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então

- 1 2 ∫ t - 1 2   d t = - 1 2 t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

Passo 6

Pra somar aqueles expoentes ali, a gente pode escrever o 1 = 2 2 pra podermos somar as frações de boinhas:

= - 1 2 t - 1 2 + 2 2 - 1 2 + 2 2

= - 1 2 t 1 2 1 2

A gente pode simplificar os 1 2 ali ficando só com:

= - t 1 2

Que é o mesmo que:

=   - t  

Agora a gente tem que lembra que t = 1 - x 2 e voltar pra variável certa. Então:

∫ x 1 - x 2 d x =   - 1 - x 2

Ufaa! Integramos! Agora vamos voltar lá pra fórmula...

Passo 7

A gente parou aqui:

∫ a r c s e n   x   d x = x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos substituir o valor da integral que a gente calculou:

= x   a r c s e n   x - - 1 - x 2

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2

Só falta somar a constante agora, já que temos uma integral indefinida!

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C

Agora sim! Terminamos😉

Resposta

x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C