Calcule a integral abaixo
Passo 1
E aí, tudo joia?
Primeiramente a gente tem que entender esse no expoente do seno ali. Lembra o seguinte: sempre que temos num expoente, quer dizer que aquela função está ao inverso.
Então... na verdade é a inversa de . Você lembra qual função é essa?
Essa aqui:
Então nossa integral na verdade é:
Então vamos usá-la assim, pra poder resolver.
Passo 2
Vamos lá, a gente vai usar integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:
Parece estranho usar isso já que a gente não tem duas funções ali dentro, mas na verdade a gente pode colocar o 1 pra acompanha ela e fazer isso aqui:
E chamar:
Beleza? Vamos continuar...
Passo 3
Agora a gente precisa achar e pra também usar na fórmula. Pra isso, vamos derivar e integrar :
(essa derivada é tabelada😉)
e
Ótimo! Agora podemos substituir isso na fórmula de integração de partes...
Passo 4
Vamos substituir aqui:
Vamos resolver agora aquela integral que ficou ali no final...
Passo 5
Pra resolver essa:
A gente pode usar uma substituição simples, chamando:
E fazendo:
E então teremos:
A gente pode retirar a constante:
E escrever o como . Isso é o mesmo que:
E aí a gente integra pela regra da potência que diz que
Então
Passo 6
Pra somar aqueles expoentes ali, a gente pode escrever o pra podermos somar as frações de boinhas:
A gente pode simplificar os ali ficando só com:
Que é o mesmo que:
Agora a gente tem que lembra que e voltar pra variável certa. Então:
Ufaa! Integramos! Agora vamos voltar lá pra fórmula...
Passo 7
A gente parou aqui:
Vamos substituir o valor da integral que a gente calculou:
Só falta somar a constante agora, já que temos uma integral indefinida!
Agora sim! Terminamos😉