Calcule a integral abaixo
Passo 1
Bora fazer mais essa?
Como a gente tem um produto entre duas funções, vamos usar Integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:
Agora vamos recorrer ao LIATE pra ver a ordem de escolha do :
- Logaritmo
- Inversa trigonométrica
- Algébrica
- Trigonométrica
- Exponencial
Na nossa integral temos uma parte algébrica, que é o , e uma trigonométrica, o , certo? Pela ordem então, a melhor escolha é:
Passo 2
Pra aplicar na fórmula, ainda precisamos de e . Então vamos derivar e integrar :
Nessa integral de , precisaremos fazer uma substituição simples. Vamos fazer e , aí teremos:
Voltando pra :
Beleza, agora temos todos os pedacinhos, vamos montar nossa fórmula...
Passo 3
Vamos substituir aqui:
Arrumando...
Bommm... chegamos numa integral que também é um produto entre duas funções de tipos diferentes, essa aqui:
E aí... a gente vai ter que usar Integração por partes de novo! Sim, isso pode acontecer, mas não se desespere! Vamos resolver essa no cantinho. Vem comigo...
Passo 4
Pra resolver
Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:
Aí vamos fazer o mesmo esquema que fizemos ali em cima...
Vamos fazer então e :
e
Vamos substituir agora:
Vamos retirar a constante na integral:
Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.
Passo 5
Na verdade, a gente já até resolveu essa integral ali em cima!
Então substituindo, temos:
Passo 6
Vamos substituir isso naquela primeira que a gente parou lá no passo 3:
Fazendo a multiplicação distributiva do :
Prontinho! Integral calculada! Agora só falta somar a constante já que temos uma integral indefinida😉
Agora acabamos.