Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Bora fazer mais essa?

Como a gente tem um produto entre duas funções, vamos usar Integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora vamos recorrer ao LIATE pra ver a ordem de escolha do u :

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Na nossa integral temos uma parte algébrica, que é o x 2 , e uma trigonométrica, o cos ⁡ 3 x , certo? Pela ordem então, a melhor escolha é:

u = x 2

d v = cos ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Pra aplicar na fórmula, ainda precisamos de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ d v = ∫ cos ⁡ 3 x   d x

Nessa integral de cos ⁡ 3 x , precisaremos fazer uma substituição simples. Vamos fazer t = 3 x     e d t = 3   d x → d t 3 = d x , aí teremos:

v = ∫ cos ⁡ t   d t 3   = 1 3 ∫ cos ⁡ t = 1 3 s e n   t

Voltando pra x :

= 1 3   s e n   3 x  

Beleza, agora temos todos os pedacinhos, vamos montar nossa fórmula...

Passo 3

Vamos substituir aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - ∫ sen ⁡ 3 x 3 ( 2 x )   d x

Arrumando...

= x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 ∫ x   s e n   3 x   d x

Bommm... chegamos numa integral que também é um produto entre duas funções de tipos diferentes, essa aqui:

∫ x   s e n   3 x   d x

E aí... a gente vai ter que usar Integração por partes de novo! Sim, isso pode acontecer, mas não se desespere! Vamos resolver essa no cantinho. Vem comigo...

Passo 4

Pra resolver ∫ x   s e n   3 x   d x

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aí vamos fazer o mesmo esquema que fizemos ali em cima...

Vamos fazer então u = x e d v = sen ⁡ 3 x d x :

d u = d x e v = ∫ s e n   3 x   d x =   - cos ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x

Vamos retirar a constante na integral:

= - x cos ⁡ 3 x 3 + 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 5

Na verdade, a gente já até resolveu essa integral ali em cima!

∫ cos ⁡ 3 x   d x =   1 3   s e n   3 x  

Então substituindo, temos:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = = - x cos ⁡ 3 x 3 + 1 3 1 3   s e n   x

=   - x cos ⁡ 3 x 3 + s e n   x 9

Passo 6

Vamos substituir isso naquela primeira que a gente parou lá no passo 3:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 ∫ x   s e n   3 x   d x

= x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 - x cos ⁡ 3 x 3 + s e n   x 9  

Fazendo a multiplicação distributiva do - 2 3 :

= x 2 s e n   3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2   s e n   x 27

Prontinho! Integral calculada! Agora só falta somar a constante já que temos uma integral indefinida😉

x 2 s e n   3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2   s e n   x 27 + C

Agora acabamos.

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sen ⁡ 3 x 27 + C