Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria
Exercício 10123456789

Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d x

Passo 1

Opa, fala aii! Vamos continuar com nossos estudos de integrais por partes!

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções.

Como fazer então? Temos um jeitinho especial para fazer aparecer, vejam só, vamos colocar o 1 ali multiplicando, e ele será nossa função algébrica dentro da integral:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⋅ 1 d x

Passo 2

Agora temos um produto de uma função algébrica, com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v .

Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = 1 d x v =   ? u = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d u =   ?

Aqui nós podemos usar a dica do LIATE para escolher u na seguinte ordem:

  • Logarítmica
  • Inversa Trigonométrica
  • Algébrica ou (polinomial)
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Passo 3

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u .

Vamos começar integrando d v

d v = 1 d x       →             v = ∫ 1 d x = x + C

Agora, derivando u , temos

u = ln ⁡ 2 x + 1

Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, lembrando que ela é desse jeitão aqui:

( f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Agente faz a derivada da de fora vezes a derivada da de dentro

Show, vamos dar nome aos bois então, na nossa função, temos que

f x = ln ⁡ x → f ' x = 1 x

g x = 2 x + 1 → g ' x = 2

f ' g x = 1 2 x + 1

Agora que achamos f ' g x e g ' ( x ) vamos colocar na nossa regra da cadeia

f g x ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2

Então temos que

d u = 2 2 x + 1 d x

Podemos simplificar o 2 em cima e embaixo.

d u = 1 x + 1 2 d x

Passo 4

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes.

Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Achamos os termos no passo anterior, então temos

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 1 x + 1 2 d x ⏟ d u

Ajeitando isso daí, temos:

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ ( 2 x + 1 ) - ∫ x x + 1 2 d x

Passo 5

Vamos dar uma olhadinha nessa integral:

∫ x x + 1 2 d x

O que a gente vai fazer é somar e subtrair   1 2 no numerador, se liga aqui:

= ∫ x + 1 2 - 1 2 x + 1 2 d x

Podemos separar isso em duas frações

= ∫ x + 1 2 x + 1 2 - 1 2 x + 1 2 d x

Separando isso em duas integrais, temos:

= ∫ x + 1 2 x + 1 2 d x - ∫ 1 2 x + 1 2 d x

Opa, na primeira a gente tem o numerador igual ao denominador e na segunda podemos pegar essa constate ( 1 2 ) e passar pra fira da integral, ficando com:

= ∫ 1 d x - 1 2 ∫ d x x + 1 2

A primeira integral é de boinhas e a segunda a gente vai fazer uma substituição simples!

u = x + 1 2

d u = d x

Então ficamos com:

= ∫ 1 d x - 1 2 ∫ d u u

Isso da

x - 1 2 ln ⁡ u

Como u = x + 1 2 , nosso resultado fica:

= x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Passo 6

Agora substituímos o resultado achado.

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - ∫ x x + 1 2 d x

= x ln ⁡ 2 x + 1 - x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Dando um jeitinho nos sinais, ficamos com:

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein. 😊

Resposta

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C