Exercícios Resolvidos de Intensidade de Radiação

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Enunciado

Em um dia encoberto, a distribuição direcional da radiação solar que incide na superfície terrestre pode ser aproximada por uma expressão na forma I i = I n . cos ⁡ θ , onde I n = 80   W / ( m 2 . s r ) é a intensidade total da radiação normal à superfície e θ é o ângulo de zênite.

Qual é a irradiação solar na superfície terrestre?

Passo 1

Por definição, a irradiação é dada por:

G = ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = 0 π / 2 I i θ , ϕ . cos ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ

Onde I i = I n . cos ⁡ θ . Logo:

G = I n ∫ ϕ = 0 2 π ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ . d ϕ

Como os termos da integral dependem somente de θ , podemos resolver a integral da seguinte forma:

G = I n ∫ ϕ = 0 2 π d ϕ ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ

Passo 2

A primeira integral será igual a 2 π .

G = 2 π . I n . ∫ θ = 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ . sen ⁡ θ . d θ

Para resolver a segunda integral, vamos fazer uma integração por substituição, onde :

u = cos ⁡ θ → d u = - sen ⁡ θ d θ  

Logo:

G = - 2 π . I n . ∫ u 2 . d u = - 2 π . I n . u 3 3

G = - 2 π . I n . cos 3 ⁡ θ 3 0 π / 2

G = - 2 π . I n . - 1 3

G = 2 π I n 3

Onde I n = 80   W / ( m 2 . s r ) , logo:

G = 2 π × 80 3

Resposta

G = 167,55   W / m 2

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