Determine e esboce o domínio de

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que , então, na nossa função

Vamos separar em partes! A primeira é essa aqui:

Como é uma raiz ímpar, não temos restrição nenhuma! A problema é só quando é par, ok?

Agora para

temos uma raiz par, então precisamos que

Passando o para o outro lado, ficamos com

Que podemos escrever assim:

Vamos guardar isso, que já já vamos precisar!

Agora para nossa última parte da função temos que o denominador da fração não pode ser

Logo,

Maaaas não acabamos por aí, percebe aqui comigo o denominador também é uma raiz par, então além de ser ele tambem tem que ser maior que zero.

Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

Juntando as duas condições temos que

Porque não pode negativo, nem igual a zero. Por isso que o sinal de se transformou em apenas .

Assim:

Show, agora vamos desenhar isso.

Mas agora como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Assim:

Se transforma em:

E o gráfico é esse aqui:

Agora vamos colocar o sinal correto que é:

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e não de “maior ou igual”). Encontramos isso:

Show, essa parte foi.

Mas lembra do que encontramos lá no passo 2, quando fizemos

Achamos:

Vamos trocar o sinal também, colocando uma igualdade pra ajudar a gente a começar a desenhar essa parte. Agora teremos a reta . Que nos dá esse gráfico aqui:

Voltando para o sinal certo, temos:

E como o sinal é de menor ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Prontinho, nosso domínio está representado pela parte mais escura do gráfico.