Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

Biólogos estão pesquisando que certa espécie de ave está ameaçada de extinção em virtude de comerciantes estarem usando as penas para brinquedos. Depois que várias medidas de preservação forem implementadas espera-se que a população de aves cresça de acordo com a regra:

N ( t )   =   2 t ³   +   3 t ²   -   4 t   +   1000   ( 0   ≤   t   ≤   10 )

Onde N ( t ) denota o tamanho da população ao fim do ano t. Calcule N ” ( 2 ) e N ” ( 8 ) , interpretando os resultados.

Passo 1

O que o enunciado tá querendo da gente é esse N ” ( 2 ) e N ” ( 8 ) , mas o que significam essas duas aspinhas aí em cima do N ? Bom, quando elas aparecem significa que você precisa fazer a derivada de segunda ordem, que no final das contas é derivar duas vezes a função. Então, partiuuu!

N ( t )   =   2 t ³   +   3 t ²   -   4 t   +   1000

Vamos derivar a primeira vez. Temos:

N ’ t = 2 t 3 +   3 t 2 -   4 t   +   1000 '

E podemos separar na soma das derivadas, certo?

N ' ( t ) = 2 t 3 ) ' + ( 3 t 2 ) ' - ( 4 t ) '   + ( 1000 '

Vamos aplicar nossas regras do peteleco em cada uma e lembrar que a derivada de constante é zero!

N ' t = 3.2 t 2 + 3.2 t 1 - 4.1 t 0 + 0

N ' t =   6 t 2 +   6 t   –   4

Essa é a primeira derivada. Agora vamos derivar a segunda vez, fica assim ó...

N ” t = 6 t 2 +   6 t   –   4 '

Repara que a gente vai pegar a primeira derivada e fazer a derivação dela novamente:

N ' ' t = 6 t 2 ' + 6 t ' - 4 '

N ' ' t = 6.2 t 1 + 6.1 t 0 - 0

Facando:

N ' ' t = 12 t   +   6

Passo 2

No enunciado ele que valores específicos dessas derivadas quando ele pergunta quem é N ” ( 2 ) e N ” 8 .   Então, agora vamos encontrar os valores pedidos no enunciado substituindo os valores de t .

Para t = 2, temos:

N ” ( 2 )   =   12.2   +   6   =   30

Para t = 8, temos:

N ” ( 8 )   =   12.8   +   6   =   102

Observamos que para N ” ( 2 )   =   30 e N ” 8 =   102 os cálculos revelam que no final do segundo ano a taxa de crescimento da população de aves aumentará uma razão de 30   a v e s / a n o .

Ao final do oitavo ano a taxa estará aumentando a uma razão de 102   a v e s / a n o . Conclui-se então que as medidas de preservação serão bem sucedidas se cumpridas.

Resposta

N ” ( 2 ) =   30

N ” ( 8 )   = 102