Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

Se y = 9 - x qual é a única resposta correta para a sua primeira derivada?

Passo 1

Fala! Empolgada(o) para fazer exercícios de derivada? Fica tranquilo, porque aqui você vai entender tudo com um passo a passo bem explicadinho!

O primeiro passo é entender o enunciado! O que ele quer saber quando pergunta qual é a única resposta correta para a derivada da função y abaixo?

y = 9 - x

Essa é só uma forma diferente de te pedir para derivar! O enunciado quis dizer: qual é a derivada desse y em relação a x ?

Representamos a derivada de y em relação a x como d y d x .

Como y = 9 - x , achamos:

d y d x = d 9 - x d x

E por que ele pediu a primeira derivada? O que isso quer dizer? Existe a segunda derivada?

Quando ele pede a primeira derivada de y , ele pede que você derive y apenas uma vez! Se você derivasse y duas vezes seguidas, você encontraria a segunda derivada de y . Essa segunda derivada é representada da forma abaixo.

d 2 y d x 2

O número 2 indica que essa é a 2 ª derivada!

Mas não vamos perder o foco! Temos que resolver esse exercício e até agora só entendemos o enunciado! Então vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

Para entender como derivar uma função com termos somados ou subtraídos, como é o caso da função y , temos primeiro que lembrar como derivar cada termo separadamente!

Então, vamos olhar pra cada item da função, a começar pelo 9 . Vamos nos lembrar como se deriva a constante 9 presente em y !

d 9 d x = ?

Derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Então para que exista uma derivada é preciso que a função esteja variando. Mas se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Ou seja, como 9 não varia em relação a x , sua derivada d 9 d x vale 0 .

d 9 d x = 0

Agora vamos olhar o termo x presente em y lá do início da questão? Como calculamos ele?

Passo 3

Calculamos a derivada de x , usando a regra do peteleco! Essa regra é usada para derivar variáveis (como a variável x ) que estão elevadas a uma constante! No nosso caso, temos que lembrar que a variável x está elevada a 1 !

x = x 1

Isso quer dizer que esse termo está elevado a uma constante. Logo, podemos usar a tal regra do peteleco!

Essa regra diz que, quando derivamos um termo x elevado a uma constante n , o expoente do termo “cai pra frente da função” e passa a multiplicar. Além disso, quando ele “cai pra frente da função, ele perde uma unidade”, ou seja, x passa a ter um novo expoente n - 1 !

No nosso caso, o expoente n vale 1 . Ao perder essa unidade, ficará ( 1 - 1 = 0 ) no novo expoente. Assim:

d x 1 d x = 1 ⋅ x 1 - 1 = 1 ⋅ x 0

Mas todo número elevado a zero é igual a 1 . Então:

1 ⋅ x 0 = 1 ⋅ 1 = 1

Pronto! Achamos a derivada de cada termo! Mas quanto vale a derivada de y completo?

Veremos isso no próximo passo!

Passo 4

Nos passos anteriores vimos quanto vale a derivada de 9 e a derivada de x . Porém, ainda não vimos quanto vale a derivada total de 9 - x !

Para calcular a derivada total, precisamos adaptar a regra de derivada da soma! Vimos que a derivada da soma é igual à soma das derivadas! Agora veremos que:

Ou seja, a derivada da subtração é a subtração das derivadas!

Aplicando isso em y , encontramos sua derivada d y d x .

d y d x = d 9 - x d x = d 9 d x - d x d x

Nos já calculamos d 9 d x e d x d x ! Substituindo o que encontramos:

d 9 d x - d x d x = 0 - 1 = - 1

Resumindo, d y d x vale:

d y d x = - 1

Aeeeee! Terminamos o exercício de derivadas! Esse passo a passo ajudou? Responde aí!

Resposta

d y d x = - 1