Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

A derivada da função f x = a x 5 + b x + c é:

(a) f ' x = 5 a x + b

(b) f ' x = 5 a x 4 + b + c

(c) f ' x = 4 a x 2 + b x

(d) f ' x = a x 4 + b

(e) f ' x = 5 a x 4 + b

Passo 1

E aí, se assustou com essa função cheia de termos diferentes ( a , b e c )? Eu também! Mas sempre que eu olho uma questão de derivada que me assusta muito, eu respiro fundo e lembro que deve existir um jeito mais simples de enxergar a questão!

Nesse caso, a , b e c estão presentes na função para representar valores constantes, então eles são na verdade números que estão ali!

a = b = c = c o n s t a n t e

Ou seja, a , b e c têm o mesmo papel que o número 2 teria na função g x = 2 x .

Atenção! Não estou dizendo que a , b e c valem 2 . Estou apenas dizendo que esses três termos desempenham o mesmo papel na função que qualquer número desempenharia. Resumindo, a , b e c representam números! Então vamos derivar tendo isso em mente!

Além disso, a gente pode ver que as opções de resposta que temos têm um termo f ' x esquisito. Relaxa, esse termo é apenas uma outra forma de representar a derivada da função f x . Em outras palavras, d f d x e f ' x são formas equivalentes de se representar uma derivada.

f ' x = d f d x

Agora que entendemos o enunciado do exercício, podemos começar a derivar!

Passo 2

Essa função é a soma de vários termos. Podemos tirar proveito disso, usando uma propriedade da derivada. Essa propriedade diz que podemos derivar cada termo separadamente e depois juntar tudo de novo! Em outras palavras, podemos reescrever a derivada da soma d d x a x 5 + b x + c com a soma das derivadas d d x a x 5 , d d x b x e d d x c .

d f d x = d d x a x 5 + b x + c

d f d x = d d x a x 5 + d d x b x + d d x c

Sempre que a função for grande, cheia de somas e subtrações, podemos derivar cada termo de forma separada e depois juntar tudo para calcular a derivada da função inteira!

Vamos derivar cada termo separadamente no próximo passo!

Passo 3

Para calcular as derivadas de a x 5 e b x , usaremos a regra do peteleco! Nessa regra, a derivada faz o expoente “cair” e passar a multiplicar o termo. Além disso, o expoente da derivada é o expoente antigo menos 1 .

No termo a x 5 , o expoente 5 vai “cair” e passar a multiplicar. O novo expoente será 5 - 1 .

d d x a x 5 = 5 ⋅ a x 5 - 1 = 5 ⋅ a x 4

Já no termo b x , o expoente de x vale 1 .

b x = b x 1

Isso quer dizer que o expoente 1 vai “cair” e o novo expoente valerá 1 - 1 .

d d x b x = b ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1 = b ⋅ 1 ⋅ x 0 = b ⋅ 1 ⋅ 1 = b

Já sabemos o valor da derivada de dois termos. Falta só calcular a derivada de c para juntar todos esses valores e encontrar a derivada total da função.

Passo 4

Derivar é a mesma coisa que calcular a taxa de variação! Se o termo não varia, como é o caso de uma constante, então sua taxa de variação vale zero!

Ou seja, como c não varia em relação a x , sua derivada d c d x vale 0 .

d c d x = 0

Agora que já sabemos as derivadas de cada parcela, podemos substituir todos esses valores de derivadas na derivada total:

d f d x = d d x a x 5 + d d x b x + d d x c

d f d x = 5 a x 4 + b + 0

d f d x = 5 a x 4 + b

Como os resultados da questão representam a derivada de outra forma (com um f ' x ), vamos reescrever a equação acima para ficar mais clara qual é a resposta!

f ' x = 5 a x 4 + b

Essa resposta é a letra (e)! Agora é só marcar a opção (e) e correr pro abraço! Parabéns!

Resposta

Letra (e).