Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

Com o uso de derivadas sucessivas podemos fazer interpretações da segunda derivada, com aplicações diretas na Física e Economia, por exemplo. Com isso, seja s ( t ) = 2 t + 3 t 2 , para t > 0 , a equação do movimento de uma partícula P com s em metros e t sem segundos. Utilizando a derivação sucessiva, determine a velocidade e a aceleração da partícula quando t = 5   s

Passo 1

Primeira coisa que precisamos nos lembrar é que a velocidade é a derivada do espaço...

Portanto, teremos o seguinte...

v t = s ' t

v t = 2 t + 3 t 2 '

Lembra que temos a propriedade em relação a soma, onde podemos calcular a derivada de cada termo? Então:

v t = 2 t ) ' + ( 3 t 2 '

Aplicando nossa regrinha do peteleco

v t = 2.1 t 0 + 3.2 t 1

v t = 2 + 6 t

Como ele pediu o valor da velocidade quando t = 5 s . Vamos substitui o t por 5 na nossa função de velocidade. Fica assim ó:

v 5 = 2 + 6.5

v 5 = 32   m / s

Passo 2

Agora para determinarmos a aceleração vamos fazer a derivada da velocidade

a t = v ' t

a t = 2 + 6 t '

Vamos lembrar que temos a propriedade em relação a soma novamente, onde podemos calcular a derivada de cada termo.

a t = 2 ' + 6 t '

a t = 0 + 6.1 t 0

a t = 0 + 6

a t = 6   m / s 2

Aqui não precisaremos substituir o t = 5 s , pois a aceleração é constante e igual a 6 m / s ² . Então em qualquer momento ela será sempre igual a 6 m / s ² , inclusive no t = 5 s . É o que chamamos de movimento uniformemente variado, lá da Física.

Resposta

v 5 = 32 m / s         e                     a t = 6   m / s 2