Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

A derivada da função f x = 3 x 2 + 4 x é:

Passo 1

Vamos desvendar o que essa questão tá querendo da gente. Pra isso a gente precisa lembrar que termos somados e subtraídos podem ser olhados separadamente na hora de derivar, assim a nossa vida vai ficar muito mais fácil!

A derivada de f x pode ser reescrita como abaixo.

d f d x = d d x 3 x 2 + 4 x

Onde vamos fazer a derivada de cala parcela separadamente:

d f d x = d d x 3 x 2 + d d x 4 x

Está vendo? Sempre que tivermos uma função grande cheia de somas e subtrações, podemos derivar cada termo de forma separada e depois juntar tudo para calcular a derivada da função inteira!

Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 2

Para calcular as derivadas das variáveis elevadas a um expoente ( 3 x 2 e 4 x ), usaremos a regra do peteleco! Essa regra diz que, quando derivamos um termo x elevado a uma constante n , o expoente do termo “cai” e passa a multiplicar. Além disso, x passa a ter um novo expoente n - 1 !

No caso de 3 x 2 , o expoente n vale 2 . então, esse expoente 2 vai cair pra frente da função e passar a multiplicá-la. Ao cair ele perde uma unidade ficando: ( n - 1 = 2 - 1 )

d d x 3 x 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1

6 ⋅ x 1 = 6 x

E encontramos a primeira parte da nossa derivada.

Já no caso de 4 x , o expoente n vale 1 . Logo, vamos usar a mesma regra do peteleco ficando com:

d d x 4 x = 4 ⋅ 1 ⋅ x 1 - 1

Repara que nosso x   vai ficar elevado a zero, e todo número elevadoa zero é igual a 1 . Assim:

6 ⋅ x 0 = 6 ⋅ 1 = 6

Passo 3

O último passo é a cereja do bolo! Já fizemos todo o trabalho duro da questão! Agora é só juntar os resultados. Pra isso vamos lembrar como fizemos a separação lá no início:

d f d x = d d x 3 x 2 + d d x 4 x

Sendo d d x 3 x 2 = 6 x e d d x 4 x = 4 , teremos:

d f d x = 6 x + 4

Não disse que o último passo era só um detalhe pra fechar com chave de ouro a nossa questão?

Pode comemorar! Fizemos mais um exercício de derivada!

Resposta

d f d x = 6 x + 4