Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

O valor de f ' ( 2 ) para f x = x 2 - 3 x 3 é:

(a) 14 / 3

(b) 1 / 3

(c) - 14 / 3

(d) 5 / 3

(e) - 5 / 3

Passo 1

Essa questão parece mais difícil do que as anteriores, mas na verdade é mais fácil. Vamos olhar bem a nossa função:

f x = x 2 - 3 x 3

Antes de derivar, nós podemos facilitar a nossa vida separando essa fração esquisita em duas frações mais simples. Sempre que tivermos soma ou subtração no numerador, podemos separar dessa forma:

f x = x 2 3 - 3 x 3

E ainda, como na segunda fração temos o 3 em cima e em baixo, podemos simplificar ele, deixando assim:

f x = x 2 3 - x

Ficou bem mais bonita agora, né. O segredo é esse. Quando a gente se depara com algo que parece estar difícil, a gente tenda melhorar e simplificar ao máximo.

Passo 2

Agora, sim! Vamos derivar:

f ' x = x 2 3 - x '

Lembra que, na derivada, podemos separar as somas e substrações? Vamos fazer isso:

f ' x = x 2 3 ' - x '

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte que é o x 2 3 . Aqui, pra facilitar a nossa vida, temos que lembrar que dividir por 3 é a mesma coisa que multiplicar por 1 3 . Olha só:

1 3 ⋅ x 2 '

Agora, a derivada que sobrou envolve uma potência de x multiplicada por uma constante. Já sabemos que podemos tirar a constante da derivada:

1 3 ⋅ x 2 '

Vamos usar aquela a regrinha da derivada de potências de x .

x n ' = n x n - 1

O seja, o 2 “cai pra frente multiplicando e perde uma unidade no expoente do x ’. No nosso exercício, vai ficar assim:

1 3 ⋅ 2 x 2 - 1 = 1 3 . 2 x = 2 x 3

Achamos a primeira.

Passo 4

Vamos olhar agora pro último termo que é o x . Percebeu que esse é aquele caso onde temos uma constante multiplicada por x ? Só que nesse caso, a constante é 1 . A regrinha é a mesma que vimos antes. Olhando só o último termo agora:

f ' x = x 2 3 ' - x '

Colocando o 1 na frente e no exponte do x e derivando, teremos:

1 . x 1 ' = 1.1 . x 1 - 1 = x 0

E todo número elevado a zero é igual a 1 .

Assim a derivada do x é:

x ' = 1

Passo 5

Agora chegou a hora de juntarmos as duas informações que encontramos e montar a derivada:

f ' x = x 2 3 ' - x '

f ' x = 2 x 3 - 1

Passo 6

Mas lembra que a questão pediu pra gente o valor de f ' ( 2 ) ? Isso significa que queremos saber o valor da derivada quando x = 2 . Então agora só precisamos trocar o x pelo 2 na derivada que acabamos de resolver.

Vai ficar assim:

f ' x = 2 x 3 - 1

f ' 2 = 2 ⋅ 2 3 - 1

f ' 2 = 4 3 - 1

E agora? Como fazemos essa continha com frações? Pra fazermos somas e subtrações com frações, precisamos de denominadores iguais. Primeiro vamos lembrar que quando o denominador não aparece, é igual a 1 .

f ' 2 = 4 3 - 1 1

Agora pra igualar os denominadores, vamos multiplicar a segunda fração por 3 em cima e embaixo.

f ' 2 = 4 3 - 3 3

Prontinho, os denominadores das duas agora valem 3 . Agora podemos fazer as contas com os numeradores e repetir os denominadores.

f ' 2 = 4 - 3 3

f ' 2 = 1 3

Cosneguimos!

Resposta

f ' 2 = 1 3