O valor de para é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Essa questão parece mais difícil do que as anteriores, mas na verdade é mais fácil. Vamos olhar bem a nossa função:
Antes de derivar, nós podemos facilitar a nossa vida separando essa fração esquisita em duas frações mais simples. Sempre que tivermos soma ou subtração no numerador, podemos separar dessa forma:
E ainda, como na segunda fração temos o em cima e em baixo, podemos simplificar ele, deixando assim:
Ficou bem mais bonita agora, né. O segredo é esse. Quando a gente se depara com algo que parece estar difícil, a gente tenda melhorar e simplificar ao máximo.
Passo 2
Agora, sim! Vamos derivar:
Lembra que, na derivada, podemos separar as somas e substrações? Vamos fazer isso:
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira parte que é o . Aqui, pra facilitar a nossa vida, temos que lembrar que dividir por é a mesma coisa que multiplicar por . Olha só:
Agora, a derivada que sobrou envolve uma potência de multiplicada por uma constante. Já sabemos que podemos tirar a constante da derivada:
Vamos usar aquela a regrinha da derivada de potências de .
O seja, o 2 “cai pra frente multiplicando e perde uma unidade no expoente do ’. No nosso exercício, vai ficar assim:
Achamos a primeira.
Passo 4
Vamos olhar agora pro último termo que é o . Percebeu que esse é aquele caso onde temos uma constante multiplicada por ? Só que nesse caso, a constante é . A regrinha é a mesma que vimos antes. Olhando só o último termo agora:
Colocando o 1 na frente e no exponte do e derivando, teremos:
E todo número elevado a zero é igual a .
Assim a derivada do é:
Passo 5
Agora chegou a hora de juntarmos as duas informações que encontramos e montar a derivada:
Passo 6
Mas lembra que a questão pediu pra gente o valor de ? Isso significa que queremos saber o valor da derivada quando . Então agora só precisamos trocar o pelo na derivada que acabamos de resolver.
Vai ficar assim:
E agora? Como fazemos essa continha com frações? Pra fazermos somas e subtrações com frações, precisamos de denominadores iguais. Primeiro vamos lembrar que quando o denominador não aparece, é igual a .
Agora pra igualar os denominadores, vamos multiplicar a segunda fração por 3 em cima e embaixo.
Prontinho, os denominadores das duas agora valem . Agora podemos fazer as contas com os numeradores e repetir os denominadores.
Cosneguimos!