Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

Em Pesquisa Operacional ou em Administração de Empresas é comum os cuidados com a otimização de processos, assim verifica-se que a função lucro da empresa ACÚSTIC é dada por P x = - 0,02 x ²   +   300 x   –   200.000 dólares, onde x é o número de sistemas de som modelo F produzidos. Encontre onde a função   P é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

O que o enunciado quer saber é, onde a função é crescente e onde é decrescente. Para isso precisamos lembrar da interpretação gráfica da derivada. A derivada é igual a inclinação da reta tangente ao gráfico. Vejamos um gráfico de uma função qualquer:

Repare que quando o gráfico da função é crescente (a curva está subindo), temos uma derivada positiva, e quando o gráfico da função é decrescente (a curva está descendo) a derivada é negativa. Então vamos usar essa informação aí pra matar essa questão.

Nossa função será:

CRESCENTE se   P ' ( x ) > 0

DECRESCENTE se P ' ( x ) < 0

Então o primeiro passo é fazer a derivada de P ( x ) :

Observe o P ( x )

P x = - 0,02 x ²   +   300 x   –   200.000

Calculamos P ’ ( x ) fazendo a derivada de cada termo:

P ' x = - 0,02 x 2 +   300 x   –   200.000 '

P ' x = - 0,02 x 2 ' + 300 x ' – 200.000 '

P ' x = - 0,02.2 x 1 + 300.1 x 0 - 0

P ' x =   -   0,04 x   +   300  

Passo 2

Agora vamos ver em quais intervalos nossa derivada será positiva fazendo:

P ' x > 0

  -   0,04 x   +   300   > 0

Bem, isso ai é uma inequação (porque tem aquele sinal de > ali). Para resolver essa inequação, é bem parecido com resolver uma equação normal, vamos deixar o x sozinho. Para isso vamos jogar o 300 que tá somando, para o outro lado subtraindo.

-   0,04 x   > - 300

Agora tem um detalhe importante, o valor que acompanha o x está negativo, para arrumar isso nós multiplicamos a inequação inteira por - 1 , e isso vai fazer com que todos os sinais se alterem, incluindo o sinal de > (maior) que vai passar a ser < (menor). Vai ficar assim ó:

-   0,04 x   > - 300                 × - 1

0,04 x < 300

Agora que o valor do x já é positivo, vamos deixa-lo sozinho, passando esse 0,04 que está multiplicando, para o outro lado dividindo:

x < 300 0,04

x < 7500

Isso significa que nossa função P ( x ) será crescente para todos os valores de x que forem menores que 7500.

Passo 3

Agora vamos descobrir os valores onde a função será decrescente, lembrando que agora a derivada precisar ser negativa, ou seja, menor que zero.

P ’ x < 0

-   0,04 x   +   300   < 0

Vamos deixar o x sozinho aqui também:

-   0,04 x   < - 300  

E não se esqueça de multiplicar aqui por ( - 1 ) aqui também:

-   0,04 x   < - 300                 × - 1

0,04 x > 300

x > 300 0,04

x > 7500

O que significa que nossa função será decrescente para valores de x maiores que 7500.

A gente também pode confirmar isso olhando para o gráfico de P x :

Mas nem sempre temos o gráfico fácil a nossa mão, então a derivada ajuda a gente nessa tarefa aí.

Resposta

P ( x ) é crescente para x < 7500

P ( x ) é decrescente para x > 7500