Para uma epidemia em uma cidade, o setor de saúde indicou que o número de P pessoas infectadas no instante t (a partir do início da epidemia), pode ser descrito pela função entre os dias . Obter a taxa instantânea de variação quando
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- 900
- 200
- 600
- Nenhuma das respostas anteriores
Passo 1
Fala galerinha, tudo tranquilo? Esse exercício quer que a gente calcule a taxa instantânea de variação da função , quando . Mas o que isso significa?
Sempre que um exercício pede para a gente calcular a taxa instantânea de variação de uma função, ele está querendo que a gente calcule a derivada dessa função!
Ou seja, a questão pede que a gente calcule a derivada de ! Mas não só isso! A questão pede que a gente calcule isso em um tempo específico . Então, depois de achar a derivada de , a questão ainda quer que a gente substitua o por !
Resumindo, precisamos derivar e depois substituir por na fórmula de derivada que encontramos!
Passo 2
Beleza, precisamos derivar fazendo:
Sempre que a gente quiser derivar uma função com somas e subtrações, podemos separar a derivada dessa função em derivadas menores, derivando cada termo. Então vamos derivar uma de cada vez:
Além disso, precisamos lembrar que as constantes não interferem na derivada. Isso significa que podemos tirar a constante de dentro da derivada.
Olha só que bacana! Conseguimos transformar aquela derivada maior em duas derivadas mais simples: uma derivada de e outra derivada de .
Vamos resolver elas no próximo passo!
Passo 3
e são potências de , ou seja, são elevado a uma constante. Sempre que a gente se deparar com uma potência, usaremos a regra do peteleco! Nessa regra, a derivada faz o expoente “cair” na frente de . Além disso, o expoente da derivada é o expoente antigo menos .
Por exemplo, no caso da derivada de , o expoente vai “cair” e o novo expoente será .
Agora é a vez do ! O expoente de vale . Logo, para a derivada de o expoente vai “cair” e o novo expoente será .
Substituindo essas derivadas que encontramos na equação da derivada grande, achamos:
Ainda podemos multiplicar por e assim chegar a nossa derivada:
Resumindo, a derivada de é igual a:
Mas lembra que a questão pede a derivada num tempo específico. Então, resta só substituir por nessa equação de derivada que encontramos.
Passo 4
Esse passo é mais tranquilinho que os outros! Precisamos apenas colocar o em todos os lugares que tiver na equação da derivada!
Para resolver essa conta, vamos primeiro começar com a potência, e temos que lembrar que é igual a . Depois a multiplicação de que é igual a .
Continuando a multiplicação:
Por fim:
Esse resultado mostra que a taxa instantânea de variação vale , quando ! Ou seja, a opção de resposta certa é a letra (b)!
Agora é só comemorar!
Resposta
Letra (b)