Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Derivadas

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Enunciado

Para uma epidemia em uma cidade, o setor de saúde indicou que o número de P pessoas infectadas no instante t (a partir do início da epidemia), pode ser descrito pela função P ( t )   =   60   t ²   -   t ³ entre os dias t   =   0   e   t   =   40 . Obter a taxa instantânea de variação quando t   =   30

  1. 300
  2. 900
  3. 200
  4. 600
  5. Nenhuma das respostas anteriores

Passo 1

Fala galerinha, tudo tranquilo? Esse exercício quer que a gente calcule a taxa instantânea de variação da função P t , quando t = 30 . Mas o que isso significa?

Sempre que um exercício pede para a gente calcular a taxa instantânea de variação de uma função, ele está querendo que a gente calcule a derivada dessa função!

t a x a   i n s t a n t â n e a = d e r i v a d a

Ou seja, a questão pede que a gente calcule a derivada de P t ! Mas não só isso! A questão pede que a gente calcule isso em um tempo específico t = 30 . Então, depois de achar a derivada de P t , a questão ainda quer que a gente substitua o t por 30 !

Resumindo, precisamos derivar P t e depois substituir t por 30 na fórmula de derivada que encontramos!

Passo 2

Beleza, precisamos derivar P t fazendo:

d P t d t   = d d t 60   t 2 -   t 3

Sempre que a gente quiser derivar uma função com somas e subtrações, podemos separar a derivada dessa função em derivadas menores, derivando cada termo. Então vamos derivar uma de cada vez:

d d t 60   t 2 -   t 3 = d d t 60   t 2 - d d t t 3

Além disso, precisamos lembrar que as constantes não interferem na derivada. Isso significa que podemos tirar a constante de dentro da derivada.

d d t 60   t 2 - d d t t 3 = 60 ⋅ d d t t 2 - d d t t 3

Olha só que bacana! Conseguimos transformar aquela derivada maior em duas derivadas mais simples: uma derivada de t 2 e outra derivada de t 3 .

Vamos resolver elas no próximo passo!

Passo 3

t 2 e t 3 são potências de t , ou seja, são t elevado a uma constante. Sempre que a gente se deparar com uma potência, usaremos a regra do peteleco! Nessa regra, a derivada faz o expoente “cair” na frente de t . Além disso, o expoente da derivada é o expoente antigo menos 1 .

Por exemplo, no caso da derivada de t 2 , o expoente 2 vai “cair” e o novo expoente será 2 - 1 .

d d t t 2 = 2 ⋅ t 2 - 1 = 2 t 1 = 2 t

Agora é a vez do t ³ ! O expoente de t 3 vale 3 . Logo, para a derivada de t 3 o expoente 3 vai “cair” e o novo expoente será 3 - 1 .

d d t t 2 = 3 ⋅ t 3 - 1 = 3 t 2

Substituindo essas derivadas que encontramos na equação da derivada grande, achamos:

60 ⋅ d d t t 2 - d d t t 3

60 ⋅ 2 t - 3 t 2

Ainda podemos multiplicar 60 por 2 e assim chegar a nossa derivada:

60 ⋅ 2 t - 3 t 2 = 120 t - 3 t 2

Resumindo, a derivada de P t é igual a:

d P t d t = 120 t - 3 t 2

Mas lembra que a questão pede a derivada num tempo específico. Então, resta só substituir t por 30 nessa equação de derivada que encontramos.

Passo 4

Esse passo é mais tranquilinho que os outros! Precisamos apenas colocar o 30 em todos os lugares que tiver t na equação da derivada!

d P 30 d t = 120 ⋅ 30 - 3 ⋅ 30 2

Para resolver essa conta, vamos primeiro começar com a potência, e temos que lembrar que 30 2 é igual a 900 . Depois a multiplicação de 120 ⋅ 30 que é igual a 3600 .

d P 30 d t = 3600 - 3 ⋅ 900

Continuando a multiplicação:

d P 30 d t = 3600 - 2700

Por fim:

d P 30 d t = 900

Esse resultado mostra que a taxa instantânea de variação vale 900 , quando t = 30 ! Ou seja, a opção de resposta certa é a letra (b)!

Agora é só comemorar!

Resposta

Letra (b)