Ache o intervalo em que a curva
É côncava para cima.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Olha só, temos que uma curva é côncava para cima quando . Então, precisamos calcular e depois calcular , mas como calcular ?
Vamos usar o teorema fundamental do Cálculo, tá lembrado? Não? Então vamos dar uma relembrada a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:
Se
Então
Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!
Passo 2
Temos então que
Joia! Já achamos a primeira derivada!
Vamos ver a segunda derivada. Pra isso a gente deriva essa .
Como ela é um quociente, a gente tem que usar a regra do Quociente. Vamos relembrar como é?
Beleza, vamos definir o que é e o que é ...
Passo 3
A gente tem que:
Derivando cada uma.
Beleza! Agora a gente monta a regra do quociente...
Passo 4
Voltando pra regrinha...
Substituindo...
Beleza! Achamos a segunda derivada!
Passo 5
Agora pra saber onde a concavidade é para cima, precisamos saber onde .
Vamos analisar o sinal dessa derivada então...
Observe que o denominador sempre será um valor positivo pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo, certo?
Então a gente só precisa analisar a função do numerador. Vamos ver onde:
Passo 6
A gente vai resolver essa inequação agora...
Passando o para o lado direito:
Como o valor de está negativo, multiplicamos toda a inequação por , isso fará todos os sinais se inverterem, incluindo o sinal de que passará a ser
Agora, deixando o sozinho:
Nesse intervalo vamos ter , logo...
A função é côncava para cima no intervalo onde , que também podemos escrever como:
Resposta
A função é côncava para cima no intervalo