Ache o intervalo em que a curva

y = ∫ 0 x 1 1 + t + t 2   d t  

É côncava para cima.

Passo 1

E aí, tudo joia?

Olha só, temos que uma curva é côncava para cima quando y ' ' > 0 . Então, precisamos calcular y ' e depois calcular y ' ' , mas como calcular y ' ?

Vamos usar o teorema fundamental do Cálculo, tá lembrado? Não? Então vamos dar uma relembrada a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se

y = ∫ 0 x f t d t

Então

y ' = f ( x )

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!

Passo 2

Temos então que

y ' = 1 1 + x + x 2

Joia! Já achamos a primeira derivada!

Vamos ver a segunda derivada. Pra isso a gente deriva essa y ' .

Como ela é um quociente, a gente tem que usar a regra do Quociente. Vamos relembrar como é?

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Beleza, vamos definir o que é f e o que é g ...

Passo 3

A gente tem que:

f = 1

g = 1 + x + x 2

Derivando cada uma.

f ' = 0   (   d e r i v a d a   d e   c o n s t a n t e )

g ' = 0 + 1 + 2 x

g ' = 1 + 2 x

Beleza! Agora a gente monta a regra do quociente...

Passo 4

Voltando pra regrinha...

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Substituindo...

y ' ' =   0 ⋅ 1 + x + x 2 - 1 ( 1 + 2 x ) 1 + x + x 2 2

y ' ' =   - 1 1 + 2 x 1 + x + x 2 2

y ' ' = - 1 - 2 x 1 + x + x 2 2

Beleza! Achamos a segunda derivada!

Passo 5

Agora pra saber onde a concavidade é para cima, precisamos saber onde y ' ' > 0 .

Vamos analisar o sinal dessa derivada então...

Observe que o denominador sempre será um valor positivo pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo, certo?

Então a gente só precisa analisar a função do numerador. Vamos ver onde:

- 1 - 2 x > 0

Passo 6

A gente vai resolver essa inequação agora...

- 1 - 2 x > 0

Passando o - 1 para o lado direito:

- 2 x > 1  

Como o valor de x está negativo, multiplicamos toda a inequação por - 1 , isso fará todos os sinais se inverterem, incluindo o sinal de > que passará a ser <

- 2 x > 1           × ( - 1 )

2 x < - 1

Agora, deixando o x sozinho:

x < - 1 2

Nesse intervalo vamos ter y ' ' > 0 , logo...

A função é côncava para cima no intervalo onde x < - 1 2 , que também podemos escrever como:

- ∞ , - 1 2

Resposta

A função é côncava para cima no intervalo

- ∞ , - 1 2

Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

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