Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a integral

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x

Passo 1

Aqui, temos uma integral polinomial, bora resolver isso aí:

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x

Lembra que a integral da soma é o mesmo que a soma das integrais, certo? Então podemos reescrever isso assim:

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x = ∫ x 3 d x + ∫ 2 x   d x - ∫ 3 x 7 d x

Passo 2

Até aí tranquilo, vamos agora lembrar de como resolvermos essa integral? Temos o caso

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então podemos já resolver cada uma das integrais.

∫ x 3 d x

Nesse caso temos n = 3

Então

∫ x 3 d x = x 3 + 1 3 + 1 + C

= x 4 4 + C

Passo 3

Agora:

∫ 2 x   d x

Como temos uma constante na frente, podemos tirá-la de dentro da integral. E teremos:

2 ∫ x   d x

Observa então que pra esse caso n = 1 .

2 ∫ x d x = 2 ∙ x 1 + 1 1 + 1 + C

= 2 x 2 2 + C

Simplificando o 2 de cima como 2 de baixo:

= x 2 + C

Passo 4

Por último, mas não menos importante

∫ 3 x 7 d x

Vamos tirar a constante de dentro

3 ∫ x 7 d x

Temos então n = 7 .

3 ∫ x 7 d x = 3 ∙ x 7 + 1 7 + 1 + C

= 3 x 8 8 + C

Passo 5

Agora é só somar isso aí

∫ x 3 d x + ∫ 2 x   d x - ∫ 3 x 7 d x

= x 4 4 + 2 x 2 2 - 3 x 8 8 + C

Resposta

x 4 4 + 2 x 2 2 - 3 x 8 8 + C