Verifique, por derivação, que o resultado da integral está correto

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

Passo 1

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Seja

f x = x sin ⁡ x + c o s ⁡ ( x ) + C ,

Lembra que se integramos uma função encontramos sua primitiva? A primitiva já nos foi dada, que no caso é   x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C . O que a questão quer de nós é que verifiquemos se essa primitiva, realmente é a primitiva da função dentro da integral. Tranquilo?

Pra fazer, faremos o caminho inverso, derivando o resultado.

f x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

f ' x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C '

Lembra que podemos separar a derivada da soma na soma das derivadas?

f ' x = x sen ⁡ x ' + cos ⁡ x ' + C '

Agora podemos resolver uma por uma dessas derivadas

Na primeira, teremos uma regra do produto, e na segunda, será uma derivada direta:

f ' x = sin ⁡ x + x cos ⁡ x + - sin ⁡ x + ( 0 )

Para a primeira derivada fizemos a regra do produto (derivada do primeiro vezes a segunda, mais a derivada da segunda vezes a primeira, sendo que a primeira função é o x e a segunda o sen ⁡ x ) , depois veio simplesmente a derivada do cos ⁡ x   que já é tabelado, e por ultimo a derivada da constante, que vale zero

Logo

f ' x = sen ⁡ ( x ) + x cos ⁡ x - sen ⁡ ( x )

Cortando os sen ⁡ x ;

f ' x = x   c o s ⁡ ( x )

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.

Resposta

f ' x = x   c o s ⁡ ( x )

Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

Ver Teoria