Seja um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir
Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se for igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Como vocês estão, pessoal? Prontos para um exercício de integral cheio de novidades?
Esse exercício quer que a gente calcule quanto vale aquele pequenininho na integral.
Mas o que é exatamente esse e esse que estão na integral?
Eles são chamados de limites de integração.
Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!
Mas relaxa, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.
Por isso, no próximo passo nós vamos começar integrando normalmente.
Passo 2
Só temos o dentro da integral. Para integrar o , precisamos lembrar que ele é igual a . Ou seja, precisamos lembrar que o expoente de vale .
Para integrar o elevado a algum número, usamos a regra de integração para potências abaixo.
O dessa regra é o expoente do na integral. No nosso caso vale , porque o expoente do é . Aplicando essa regra na nossa integral, encontramos:
Os números pequenos permanecem para mostrar os limites de integração.
No próximo passo nós vamos aprender o que fazer com eles!
Passo 3
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras nós vamos trocar o por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Vai ficar assim:
E esse é o resultado da nossa integração. Mas o enunciado nos disse que esse resultado era igual a . Como queremos descobrir o valor de , vamos transformar essas informações em uma equação:
Jogando o para o outro lado da equação e fazendo ele somar com , achamos:
Passando o número do lado esquer para o lado direito:
Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação, ela vira:
Como é o limite superior, ele dever ser maior que o que está na parte de baixo da integral, que é o 1. Logo vale , a resposta certa é a letra (c).
Parabéns, pessoal! Mais um exercício pra conta.
Resposta
Letra (c).