O custo unitário (C), em dólares, para produção de um artigo científico em um periódico de circulação na Europa é modelado por
Sendo o tempo da circulação da revista. Calcule a integral dada para a verificação do custo unitário de cada artigo durante o período de meses.
Passo 1
Bem, pessoal, esse exercício quer que a gente calcule uma integral cheia de dentro. Será que integrar é diferente de integrar ?
A resposta é não! O passo a passo para integrar é igual ao passo a passo para integrar .
Além disso, essa integral tem uns números pequenos em cima e embaixo. O que eles são?
Esses pequenos números da integral são chamados de limites de integração.
Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!
Mas fica tranquilo, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.
Por isso, no próximo passo a gente vai começar integrando normalmente.
Passo 2
Vamos iniciar as contas, lembrando que podemos separar uma integral grande cheia de somas em várias integrais menores.
Além disso, temos que lembrar que as constantes não interferem na integral. Logo, podemos tirar elas de dentro da integral.
Beleza, para começar, vamos integrar a constante que é mais fácil. Como essa constante está sozinha dentro da integral, a gente deve dar um para fazer companhia para ela!
Você pode notar que os números pequenos permanecem na integração. Isso serve para lembrar que mais pra frente vamos precisar usar esses limites de integração.
Mas agora ainda não é a hora! Primeiro, ainda vamos integrar as outras duas potências de no próximo passo.
Passo 3
Para integrar o elevado a algum número, usamos a regra abaixo.
O dessa regra é o expoente do na integral. Quando só temos um dentro da integral sem nenhum expoente a mostra, o expoente vale ! Então, nesse caso, vale .
Aplicando essa regra a nossa integral de e a integral de , encontramos:
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Usando isso, a expressão vira:
Excluindo os termos com zero, fica:
Substituindo as potências de e multiplicando , achamos:
Agora, podemos calcular o valor das frações, dividindo por e por .
O resultado deu . Logo, o custo em dólares de cada artigo durante o período de meses vale:
Foi! Chegamos ao final de mais um exercício!
Resposta
O custo unitário é .