Se

F x = ∫ 1 x f t d t

Onde

f t = ∫ 1 t 2 1 + u 4 u   d u

Determine F ' ' ( 2 )

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Bom, quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz o seguinte:

Se

F ( x ) = ∫ a x f t d t

Então

F ' ( x ) = f ( x )

Na nossa então é a mesma coisa, aí na função debaixo, a gente pode trocar o t por x ...

Passo 2

E aí teremos:

F ' x = f x = ∫ 1 x 2 1 + u 4 u   d u

Beleza! Repara que o problema pede F ' ' ( x ) , então a gente vai derivar de novo, usando o TFC.

Mas primeiro...

Vamos fazer uma pequena mudança ali no limite de integração, porque não temos um “ x ” como no enunciado do TFC, e sim um “ x 2 ”.

Passo 3

Pra resolver esse probleminha, vamos fazer a seguinte substituição:

w = x 2

E então:

d w d x = 2 x

E aí a gente substitui o x 2 na integral por w :

F ' = ∫ 1 w 1 + u 4 u   d u

Vamos seguir...

Passo 4

Agora a gente vai aplicar o TFC de novo. Mas olha só, o limite da nossa integral tá em w e a gente quer a derivada F ' ' em x , então temos que usar a regra da Cadeia, e fazer o seguinte:

F ' ' x = ∫ 1 w 1 + u 4 u   d u ' ⋅ d w d x  

Essa derivada sai pelo TFC e a parte d w d x a gente já calculou ali em cima.

Então vai ficar:

F ' ' x =   1 + w 4 w ⋅ d w d x

Vamos jogar tudo pra x agora, lembrando que w = x 2 e d w d x = 2 x .

Passo 5

Substituindo, a gente vai ficar com:

F ' ' x = 1 + x 2 4 x 2   ⋅ ( 2 x )

Quando temos um expoente dentro e um fora do parêntese assim, a gente multiplica os dois, então vai ficar:

F ' ' x = 1 + x 8 x 2 ⋅ 2 x

Ainda pode simplificar esses expoentes do x 2 e do 2 x , assim:

F ' ' x = 2 1 + x 8 x

Passo 6

Beleza! Chegamos na expressão de F ' ' ( x ) , mas o enunciado pede F ' ' ( 2 ) , então vamos substituir x = 2 ali:

F ' ' 2 = 2 1 + 2 8 2

Cortamos os “ 2 ”:

F ' ' 2 = 1 + 2 8

Resolvemos a potência: 2 8 = 256 :

F ' ' 2 = 1 + 256

F ' ' 2 = 257

E agora acabamos! 😉

Resposta

F ' ' 2 = 257

Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

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