Se
Onde
Determine
Passo 1
Olá! Tudo bem?
Bom, quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz o seguinte:
Se
Então
Na nossa então é a mesma coisa, aí na função debaixo, a gente pode trocar o por ...
Passo 2
E aí teremos:
Beleza! Repara que o problema pede , então a gente vai derivar de novo, usando o TFC.
Mas primeiro...
Vamos fazer uma pequena mudança ali no limite de integração, porque não temos um “” como no enunciado do TFC, e sim um “”.
Passo 3
Pra resolver esse probleminha, vamos fazer a seguinte substituição:
E então:
E aí a gente substitui o na integral por :
Vamos seguir...
Passo 4
Agora a gente vai aplicar o TFC de novo. Mas olha só, o limite da nossa integral tá em e a gente quer a derivada em , então temos que usar a regra da Cadeia, e fazer o seguinte:
Essa derivada sai pelo TFC e a parte a gente já calculou ali em cima.
Então vai ficar:
Vamos jogar tudo pra agora, lembrando que e .
Passo 5
Substituindo, a gente vai ficar com:
Quando temos um expoente dentro e um fora do parêntese assim, a gente multiplica os dois, então vai ficar:
Ainda pode simplificar esses expoentes do e do , assim:
Passo 6
Beleza! Chegamos na expressão de , mas o enunciado pede , então vamos substituir ali:
Cortamos os “”:
Resolvemos a potência: :
E agora acabamos! 😉