A5 T10
Os autovalores da matriz são e . Seja uma sequência de vetores, onde é a primeira coluna da matriz . A inclinação dos vetores da sequência tende à inclinação de uma reta. Qual?
Passo 1
Eita, essa afirmação aí ta meio confusa né? Eu pelo menos precisei ler algumas vezes pra entender o que ele queria haha. A palavra chave está no tende! Que ideia isso te dá? Limite né! Então o que ele quer saber é simplesmente a direção do vetor com tendendo ao infinito. E como é a primeira coluna da matriz , temos que elevar a matriz ao infinito! Logo nosso problema agora é:
E isso nós sabemos resolver!
Passo 2
Como temos uma potenciação de matriz, a primeira coisa que precisamos fazer é diagonalizar ela! Já sabemos seus autovalores então só falta acharmos os autovetores associados:
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Então o autoespaço desse autovalor é assim:
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Então o autoespaço desse autovalor é assim:
Passo 3
Então temos nossa diagonalização:
Passo 4
Bom, a primeira coluna da nossa matriz é essa:
Concorda que quando fizemos o , aquele somando e subtraindo não vão mais importar? Então:
Opa agora sim temos algo legal! Repare que esse vetor tem a segunda coordenada igual ao triplo da primeira! Ele pode ser escrito assim:
Bom, mas esse vetor é simplesmente o vetor multiplicado por um número! Ou seja, sua direção é a mesma do ! Então já chegamos à nossa resposta ;)
Resposta
Letra