Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

Ver Teoria
Exercício 11123456789101213

Enunciado

UFRJ, P3-2019.2

(QUESTÃO EXTRA)

A = - 1 - 3 - 3 1 2 3 2 1 2 1 2 3 tem polinômio característico p λ = 1 - λ 1 2 - λ 2 - λ .

Considere as afirmativas:

  1. dim ⁡ v → ∈ R lim n → ∞ ⁡ A n v →   existe = 1
  2. A é diagonalizável.
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Passo 1

Belezera pessoal, na afirmativa (I) ele jura com todas as forças que a dimensão do espaço da multiplicação da matriz no infinito por v → existe e é igual a 1 :

dim ⁡ v → ∈ R lim n → ∞ ⁡ A n v →   existe = 1

Mas saca só, esse exercício é pura sagacidade. Ele disse pra gente que o polinômio característico de A é dado por:

p λ = 1 - λ 1 2 - λ 2 - λ

E para descobrir os autovalores da matriz, fazemos p λ = 0 , dessa forma os autovalores da matriz são:

λ 1 = 1 ,     λ 2 = 1 2 ,     λ 3 = 2

Irado, quer dizer que possuímos 3 autovalores distintos, e dessa forma também vamos ter um autovetor distinto para cada um desses autovalores, v → 1 , v → 2 e v → 3 , chegando num total de 3 autovetores em R 3 . Relacionados como:

A v → 1 = 1 v → 1 ,     A v → 1 = 1 2 v → 2 ,     A v → 3 = 2 v → 3

E se temos 3 autovetores independentes num espaço de dimensão 3 , quer dizer que o conjunto de autovetores é uma base de R 3 :

R 3 = v → 1 ,   v → 2 ,   v → 3

E se ele é uma base de R 3 , qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como uma combinação entre esses vetores, então por exemplo para o vetor v → , temos que ele pode ser escrito como:

v → = a v → 1 + b v → 2 + c v → 3

Onde a ,   b e c são constantes quaisquer.

Passo 2

Belezoca, isso quer dizer que a multiplicação A v → pode ser dada como:

A v → = A a v → 1 + b v → 2 + c v → 3

E se nossa matriz for elevada a n , temos que:

A n v → = A n a v → 1 + b v → 2 + c v → 3

E agora distribuindo essa matriz:

A n v → = A n a v → 1 + A n b v → 2 + A n c v → 3

E passando as constantes para fora, chegamos em:

A n v → = a A n v → 1 + b A n v → 2 + c A n v → 3

Mec boladão, a malandragem aqui, é que v → 1 ,   v → 2 e v → 3 são autovetores associados a determinados autovalores, e quando a matriz é elevada a um expoente na multipilicação de um autovetor, seus autovalores também são elevados, tal que:

A n v → = a 1 n v → 1 + b 1 2 n v → 2 + c 2 n v → 3

Irado, então se a gente quer lim n → ∞ ⁡ A n v → , então:

A ∞ v → = a 1 ∞ v → 1 + b 1 2 ∞ v → 2 + c 2 ∞ v → 3

Só que aquele 1 2 ∞ vai ser um número tão tão tão pequeno, que podemos dizer que é igual a 0 , tal que:

A ∞ v → = a 1 ∞ v → 1 + b 0 v → 2 + c 2 ∞ v → 3

A ∞ v → = a v → 1 + c 2 ∞ v → 3

Logo, as direções que A ∞ v → assume, são guiadas pelos autovetores v → 1 e v → 3 , fazendo que esses vetores sejam a base desse espaço vetorial. Portanto dim ⁡ v → ∈ R lim n → ∞ ⁡ A n v →   existe = 2

Afirmativa (I) é falsa!

Passo 3

Belezoca galerinha, agora na afirmativa (II) ele diz que A é diagonalizável. E para uma matriz A n × n ser diagonalizável, ela precisa ter uma base de autovetores para R n . Nesse caso, nossa matriz é A 3 × 3 , e vimos no item anterior, que possuímos sim uma base de autovetores para R 3 , portanto nossa matriz A é diagonalizável. Afirmativa verdadeira. Resposta certa, letra (a).

Resposta

Letra (a)