Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

Enunciado

A matriz A é quadrada (pois o número de linhas é igual ao de colunas).

A questão disse também que a matriz A é não invertível. Isso é a mesma coisa que dizer que:

Do primeiro ponto, como A é , tiramos que uma linha (coluna) é múltipla da outra.

Do segundo, sabemos que se o núcleo tem elemento não nulo, então esse elemento é autovetor associado ao autovalor .

Então, além do autovalor que foi dado no enunciado, sabemos que A também possui autovalor 0.

(I) é LD

O conjunto é uma base do . Daí tiramos que os vetores e são LI.

Como vimos antes que A tem colunas ou linhas LD, se aplicarmos a matriz A a dois vetores LI, teremos como resultados outros dois vetores LD.

Se você não acredita, vamos testar!!

Vamos pegar dois vetores LI em e aplicar uma matriz A com linhas e colunas LD a eles.

Os vetores e que achamos são LD 😊

Então a afirmação é verdadeira.

(II)

Aqui vai entrar a parte dos autovalores, porque sempre que queremos elevar uma matriz a um expoente real precisamos diagonaliza-la.

Uma matriz diagonalizada fica na forma:

Onde P é a matriz que contém os autovetores em colunas e D é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Pra elevar A a um expoente real, fazemos então:

Como vimos, 0 é um autovalor da matriz A, enquanto o outro vamos chamar de mesmo.

A matriz D vai ficar então:

Não vamos gastar tempo montando uma matriz para P, vamos continuar representando-a como P.

Então se fizermos , teremos:

Agora vamos tomar o limite com n tendendo a infinito dos dois lados dessa expressão!

Agora lembra que o enunciado disse que ???

Então:

E aí ficamos com:

Logo tanto faz qual vetor aplicamos ao lado direito desse limite: o resultado vai ser uma matriz nula vezes esse vetor, que vai dar o vetor nulo.

Então a afirmação (II) é verdadeira, pois:

(b) Ambas são verdadeiras.