UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 09
Considere uma matriz
Existe um vetor tal que, à medida em que aumenta, a magnitude de cresce sem limite
Existe um vetor tal que, à medida em que aumenta, a magnitude de tende ao vetor nulo
(a) Ambas são verdadeiras
(b) Ambas são falsas
(c) é falsa e é verdadeira
(d)é verdadeira e é falsa
Passo 1
Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela.
E que quando ele fala “a medida que aumenta” ele ta falando de limite:
Como é o único termo que depende de nesse limite, vamos analisar ele separadamente. Sabemos que é a matriz diagonal de autovalores da matriz, então vamos achar esses autovalores!
Passo 2
Achando o polinômio característico:
Assim, a matriz vai ser:
Passo 3
Vamos ver o limite:
Então repara que, não importa o vetor , nunca vai crescer sem limites! Então, a afirmação é falsa!
Passo 4
Pra analisar a vamos precisar dos autovetores!
:
:
Então,
E
Passo 5
Então,
Beleza, então repara que, para qualquer vetor da forma , tende à a medida que tende ao infinito! Então essa é verdadeira!
Resposta
Letra