Seja e . Para qual direção converge o produto , quando tende a infinito?
Não converge
Passo 1
Para elevar uma matriz a um expoente, podemos elevar a matriz diagonal ao mesmo expoente e depois efetuar o resto dos produtos. Beleza! Mas nesse caso, se você tentar elevar a diagonal ao expoente teremos:
E se você tentar fazer o tender a infinito, não vai adiantar nada, já que vai ficar assim:
Opa, então a resposta é que não converge né? Matei!
Passo 2
Só que não jovem gafanhoto! Você não ta tirando o limite só de , mas sim de ! Vamos ver no que dá se resolvermos essa multiplicação:
Resolvendo esse produto feio ai:
Então
Opa! Vambora que ta ficando bonito!
Passo 3
Repara agora naquela primeira coordenada lá:
Você ta subtraindo 1 de um cara gigantesco indo pro infinito! Tu acha que aquele 1 vai fazer alguma coisa naquele porrolhão? Não né! Então vamos jogar ele fora que no limite não vai mudar nossa conta! Ficamos com:
Agora repara o seguinte, vamos passar o pra fora do vetor:
Temos o que? Um número constante MUUUUUITO grande multiplicando o vetor . Opa, uma constante multiplicando um vetor não costuma mudar a direção desse vetor não né? Então, no limite de indo pra infinito, tem a direção de ninguém mais ninguém menos que !
Resposta
Letra