UFRJ, Álgebra Linear, P4-2017.1, Questão 4
Considere a matriz :
Existe um vetor não-nulo tal que, à medida em que aumenta, a magnitude de cresce sem limite
Existe um vetor não-nulo tal que, à medida em que aumenta, tende ao vetor nulo
- Ambas são falsas
- Ambas são verdadeiras
- é falsa e a é verdadeira
- é verdadeira e é falsa
Passo 1
Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela.
E que quando ele fala “a medida que aumenta” ele ta falando de limite:
Como é o único termo que depende de nesse limite, vamos analisar ele separadamente. Sabemos que é a matriz diagonal de autovalores da matriz, então vamos achar esses autovalores!
Passo 2
Achando o polinômio característico:
Assim, a matriz vai ser:
Agora precisamos dos autovalores para encontrarmos !
Passo 3
:
:
Passo 4
Então,
E,
Passo 5
Fazendo a multiplicação:
Se fizermos o limite indo pra infinito já que ele pede pra qual vetor tende,
Passo 6
Vamos analisar agora as afirmativas:
Existe um vetor não-nulo tal que, à medida em que aumenta, a magnitude de cresce sem limite
Claro né? Por exemplo, . O produto vai ficar:
Com indo pra infinito, esse vetor também vai pra infinito. Afirmativa correta!
Passo 7
Existe um vetor não-nulo tal que, à medida em que aumenta, tende ao vetor nulo
Bom, pra gente tentar fazer isso, temos que dar um jeito naquele infinito né? Repara no que acontece se :
Opa, conseguimos sumir com o infinito! Mas não chegamos no vetor nulo =/
Então apesar de conseguirmos fazer o produto não crescer sem limites, não conseguimos fazer ele ir pra zero! Afirmativa falsa!
Resposta
Letra