Seja uma matriz com um autovalor igual a e outro igual a , então:

1. Existe um vetor tal que
2. Existe um vetor tal que

é falsa e é verdadeira.

e são falsas.

é verdadeira e é falsa.

e são verdadeiras.

Primeira coisa que você tem que reparar é que temos uma matriz elevada a um número ali. Então vamos diagonalizar ela, e nosso limite vira:

Como é o único termo que depende de nesse limite vamos analisar ele separadamente. Sabemos que é a matriz diagonal de autovalores da matriz então:

E sabemos que o limite de qualquer número cujo módulo é menor que elevado ao infinito é , então:

Finalmente, substituímos no nosso limite lá em cima:

onde representa a matriz . Com isso, vemos que esse limite será para qualquer ! Então a é falsa e a é verdadeira.