Calcule, caso exista, o limite abaixo. Se existir, explique por quê.

Como você deve ter percebido, a causa da indeterminação do limite é multiplicarmos por .

Agora, a nossa estratágia será usar dois limites “muito conhecidos” (por favor não me mate).

Sabemos que:

Então, para o nosso limite, podemos dizer que:

Ok, esse a gente lembrava, mas desculpa se está parecendo tudo “carteado”.

Agora, vamos mexer no limite que envolve a função logaritmo. Se temos:

Podemos fazer que

Então, quando (porque não podemos fazer para menor que ) ,teremos:

Mas usando L’Hospital, podemos dizer que

Que vale:

Assim, podemos afirmar que

Por consequência, pegamos a função do nosso problema e falamos que:

Agora, depois de termos mexido nas nossas funções, teremos que:

E, portanto,

Então, para fazer tudo “voltar a ser o que era” ,temos que multiplicar por Que ficaria assim:

Veja, essa expressão é equivalente a inicial, , pois estamos multiplicando por uma fração e pelo seu inverso, já que essa é a fração que “conserta” a nossa função, fazendo o limite dela ser bem definido.

Resta saber se o limite dessa fração é definido! Se ele for, o nosso limite existirá, pelo teorema do anulamento! Que diz:

“Se temos um limite que existe multiplicado por outro que vai pra , então o limite desse produto também vai pra .”

Vamos usar o teorema do sanduíche pra fração . Veja que, como os termos estão todos ao quadrado, temos que

E vemos, também, que temos em cima e em baixo. Portanto, existe alguma outra fração que é limitada e que é maior que essa. Por exemplo:

Isso prova que a fração que faz o limite do e do serem melhor definidos é limitada!

Agora, podemos afirmar que:

Porque

e

Porque é limitada e (teorema do anulamento)