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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

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Exercício 71234568910

Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 1ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 1a

Calcule os limites abaixo:

a ) lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1

Passo 1

Faaaaala galera, como vocês estão?

Nessa questão temos que resolver um limite de função de duas variáveis. Ele é dado por:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1

Como sempre em questões de limites, o primeiro passo é substituir o valor que x , y está tendendo.

Assim, vamos ter:

lim x , y → - 1,0 ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1 = s e n tan ⁡ - 1 3 + 0 2 + 1 s e n - 1 3 + 0 2 + 1

= s e n tan ⁡ 0 s e n 0

= 0 0

Ou seja, uma indeterminação matemática.

Nesse caso vamos precisar procurar outras técnicas pra resolver esse limite. Como temos funções trigonométricas envolvidas sempre vale a pena relembrarmos o nosso limite fundamental trigonométrico:

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

Sabendo disso, vamos colocar as mãos à obra!

Passo 2

Queremos calcular o limite:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1

Como temos funções trigonométricas envolvidas uma ideia inicial é tentarmos usar o limite fundamental trigonométrico.

Para isso, precisaríamos fazer aparecer o argumento do seno, no denominador.

Pensa comigo:

O argumento do seno do numerador é:

tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 = s e n x 3 + y 2 + 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1

No denominador já temos o termo s e n ( x 3 + y 2 + 1 ) , assim precisamos apenas fazer aparecer o termo com c o s s e n o .

s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1 = s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1 ⋅ cos ⁡ x 3 + y 2 + 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1

=   s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 t a n x 3 + y 2 + 1 ⋅ 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1

Voltando para o limite, temos:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1

=   lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 t a n x 3 + y 2 + 1 ⋅ lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1

Vamos calcular o segundo limite!

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1

Quando x , y → ( - 1,0 ) vamos ter:

lim x , y → - 1,0 ⁡ 1 cos ⁡ x 3 + y 2 + 1 = 1 cos ⁡ - 1 3 + 0 2 + 1

= 1 cos ⁡ 0

= 1

Excelente! Portanto:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1

=   lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 t a n x 3 + y 2 + 1

Daí, podemos chamar:

u = t a n ⁡ ( x 3 + y 2 + 1 )

Assim, vamos ter:

x , y → - 1,0

∴ u → t g 0 = 0

Logo, o nosso limite de duas variáveis se transforma no seguinte limite de uma variável:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 t a n x 3 + y 2 + 1 = lim u → 0 ⁡ s e n u u

Que é o famoso limite fundamental trigonométrico.

Logo:

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

Assim, concluímos que:

lim x , y → ( - 1,0 ) ⁡ s e n tan ⁡ x 3 + y 2 + 1 s e n x 3 + y 2 + 1 = 1

Prontinho! Matamos esse limite!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho essa solução 😊

Resposta

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