Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis
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UNICAMP – Cálculo 2 – 2020.2 – Teste – Exercício 1
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
a)
b)
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão sobre limites em duas variáveis?
No item (a), temos o seguinte limite:
O truque aqui é lembrar do limite fundamental:
Mas para chegar em algo parecido com isso, vamos multiplicar e dividir por :
Assim,
Daí, usamos a regra do produto:
O primeiro limite dá e o segunda dá :
Portanto,
Passo 2
Agora vamos para o item (b). Temos que olhar para o limite:
Olhando para o limite, dá para suspeitar que ele não existe. Vamos tentar provar isso!
Vamos chamar
No caminho , temos que
Da mesma forma, no caminho :
Nesses dois caminhos o limite deu zero. Isso não significa que o limite existe. Significa apenas que se o limite existir ele vai ser . Podemos achar mil caminhos que o limite da . Basta achar um caminho no qual o limite dá algo diferente que o limite não existe.
Passo 3
O truque aqui é dar um jeito de sobrar apenas uma variável no denominador. Para isso, vamos procurar de modo que o denominador fique sendo algo do tipo . Matematicamente, isso significa que
Portanto,
A gente poderia escolher algum valor de mas como queremos testar caminhos diferentes, a melhor coisa é deixar para um genérico. Substituindo por isso:
Note que
Logo,
Desta forma, o limite nesse caminho fica:
Se o expoente do no denominador for maior que o do numerador, o limite vai explodir para . Repare que para isso ocorre:
Como o limite por esse caminho não deu e nos caminhos testados no passo 2 ele foi nulo, podemos afirmar com certeza que o limite não existe!
Só por completude, qualquer que satisfaça a inequação abaixo está valendo:
Para qualquer valor de , o limite nesse caminho vai explodir.
A dificuldade desse problema era encontrar esse caminho. A dica que eu dou nesses casos é sempre tentar deixar o denominador em uma variável só, sem somas ou subtrações 😉!