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Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

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Exercício 10123456789

Enunciado

Limites e Continuidade

Calcule l , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y = sen ⁡ 0 - 0 0 + 0 = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Caímos numa indeterminação, mas repare antes da indeterminação temos algo parecido com o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Podemos transformar, fazendo um algebrismo, esse limite. Vamos multiplicar por x - y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y . x - y x - y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . x - y

Para considerarmos o limite fundamental a parte dentro do seno deve ser a parte embaixo do seno.

Passo 2

Com esse algebrismo foi isso que fizemos então usando as propriedades de limites

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . x - y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ x - y

Como

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 = 1

lim x , y → 0,0 ⁡ x - y = 0

Então

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ x - y = 1.0 = 0

Resposta

0

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