Exercícios Resolvidos de Matrizes e Operações com as Matrizes

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Enunciado

Se A é uma matriz 2x3 e B é uma matriz 3x4, então o produto dessas matrizes terá qual dimensão?

Passo 1

Bom, na multiplicação de matrizes, precisamos sempre prestar atenção em um critério: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Ou seja, se temos:

A 2 × 3     .   B 3 × 4

Sendo A uma matriz com 3 colunas, a matriz B tem que ter 3   linhas para que a multiplicação seja possível.

Passo 2

Mas qual é o motivo pra isso? Vamos fazer um exemplo de multiplicação de matrizes pra isso ficar bem claro. Imagina uma matriz A:

A = 1 2

A é uma matriz 1x2, ou seja, a matriz A te 1 linha e 2 colunas. Por outro lado, temos a matriz B :

B = 1 2 3 4 5 6

Enquanto a matriz B é uma matriz 2x3, pois tem 2 linhas e 3 colunas.

A multiplicação entre elas é possível:

A ( 1 × 2 )   .   B ( 2 × 3 )  

Pois, temos o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B :

E podemos prever que a matriz resultante dessa multiplicação, terá o mesmo número de linhas que a primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz, nesse caso, a matriz resultante da multiplicação entre A e B , terá 1 linha ( A tem 1 linha) e 3 colunas ( B tem 3 colunas).

Passo 3

O resultado da multiplicação de matrizes será uma nova matriz que tem seus elementos formados pela seguinte regra:

A . B = 1 2   . 1 2 3 4 5 6 = [ a b c ]  

Para encontrar o valor de a , faremos a soma dos produtos entre os elementos da primeira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B , veja:

a = 1.1 + 2.4

a = 1 + 8 = 9

Logo:

A . B = 1 2   . 1 2 3 4 5 6 = 9 b c

Agora vamos encontrar o elemento b . Para isso faremos a soma dos produtos entre os elementos da primeira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B , veja:

b = 1   .   2 + ( 2   .   5 )

b = 2 + 10 = 12

Logo:

A . B = 1 2   . 1 2 3 4 5 6 = 9 12 c

E por último, para encontrar c , faremos a soma dos produtos entre os elementos da primeira linha da matriz A com a terceira coluna da matriz B , veja:

c = 1   .   3 + 2   .   6

c = 3 + 12 = 15

Logo:

A . B = 1 2   . 1 2 3 4 5 6 = 9 12 15

Formando assim a matriz resultante. A . B = 9 12 15

Passo 4

Vimos com o nosso exemplo, que o que determina as dimensões da matriz resultante da multiplicação entre duas outras matrizes é o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda:

Entendeu direitinho? Agora vamos voltar para o enunciado!

Passo 5

No enunciado, falamos que temos a matriz A de dimensões 2X3, enquanto a matriz B tem as dimensões 3X4, logo temos:

A ( 2 × 3 )   .   B ( 3 × 4 )

Então essas matrizes podem ser multiplicadas e as dimensões da matriz resultante serão:

2   × 4

Resposta

A . B 2   × 4