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Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

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Exercício 712345689101112

Enunciado

Calcule a raiz da equação f x = x 2 - 5 s e n x com ε ≤ 0.01 utilizando o método da bisseção. (sugestão utilizar intervalo de busca 1,3 )

Passo 1

Vamos aplicar nosso algoritmo no intervalo que o cara bondosamente sugeriu haha.

a 0 , b 0 = 1,3

ε = 0.01

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 2

f x 1 = f 2 ≅ - 0.55

f a 0 ∙ f x 1 = - 3.21 ∙ - 3.82 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 2,3

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 3 - 2 = 1 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 2,3

ε = 0.01

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 2.5

f x 2 = f 2.5 ≅ 3.26

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.55 ∙ 3.26 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 2,2.5

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 2.5 - 2 = 0.5 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 2,2.5

ε = 0.01

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 2.25

f x 3 = f 2.25 ≅ 1.17

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.55 ∙ 1.17 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 2,2.25

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 2.25 - 2 = 0.25 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 2,2.25

ε = 0.01

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 2.125

f x 4 = f 2.125 ≅ 0.26

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.55 ∙ 0.26 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 2,2.125

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 2.125 - 2 = 0.125 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 2,2.125

ε = 0.01

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 2.0625

f x 5 = f 2.0625 ��� - 0.15

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.55 ∙ - 0.15 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = x 5 , b 4 = 2.0625,2.125

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 2.125 - 2.0625 = 0.0625 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 2.0625,2.125

ε = 0.01

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 2.09375

f x 6 = f 2.09375 ≅ 0.052

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.15 ∙ 0.052 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 2.0625,2.09375

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 2.09375 - 2.0625 = 0.03125 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 2.0625,2.09375

ε = 0.01

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 2.078125

f x 7 = f 2.078125 ≅ - 0.052

f a 6 ∙ f x 7 = - 0.15 ∙ - 0.052 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 7 e b 6 . Temos então que:

a 7 , b 7 = x 7 , b 6 = 2.078125,2.09375

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 2.09375 - 2.078125 = 0.015625 > 0.01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 2.078125,2.09375

ε = 0.01

Iteração 8 :

x 8 = a 7 + b 7 2 = 2.0859375

f x 8 = f 2.0859375 ≅ 0.00002

f a 7 ∙ f x 8 = - 0.052 ∙ 0.00002 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 7 e x 8 . Temos então que:

a 8 , b 8 = a 7 , x 8 = 2.078125,2.0859375

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 2.0859375 - 2.078125 = 0.0078125 < 0.01

Opa! Nosso intervalo (finalmenteeeee) está menor que o erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 2,0820313 .

Resposta

x - = 2.0820313

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