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Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

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Exercício 512346789101112

Enunciado

A velocidade de ascensão de um foguete em vôo vertical próximo a superfície terrestre v pode ser aproximada pela seguinte expressão:

v = u ∙ ln ⁡ M 0 M 0 - c ∙ t + g ∙ t

Na qual:

u : velocidade de exaustão relativa do foguete

M 0 : massa do foguete ao ser lançado

c : taxa de consumo de combustível

g : aceleração gravitacional

t : tempo (medido a partir do lançamento)

Considerando u = 200 m / s   , M 0 = 1600 k g , g = 9.8 m / s 2 e c = 27 k g / s , determinar o instante em que v = 100 m / s . Empregar o método da bisseção para determinar uma raiz aproximada para a equação, com intervalo inicial 6,8 e tolerância de 0.8 % . Explicite o erro relativo a cada iteração.

Passo 1

Eita cacete. Que negócio é esse de física? Achei que estávamos em cálculo numérico!

Haha, relaxa cara, essas letras todas são só pra te complicar! Vamos começar nos livrando delas substituindo todos os valores dados e igualando a velocidade a 100 :

v = u ∙ ln ⁡ M 0 M 0 - c ∙ t + g ∙ t

100 = 200 ∙ ln ⁡ 1600 1600 - 27 t + 9.8 t

Melhorou um pouco né? Agora é só uma equação, nada de foguetes haha. Mas ainda não podemos resolver isso usando bisseção né? Temos que dar uma mexida:

200 ∙ ln ⁡ 1600 1600 - 27 t + 9.8 t - 100 = 0

Opa, agora sim! Vai dar trabalho, mas pelo menos sabemos fazer haha. Só faltou um detalhe! Que negócio é aquele de 0.8 % ? E de erro relativo a cada iteração?? Então aqui ele está usando outro critério de parada! Ele quer que o erro relativo de uma iteração pra outra, dado por:

x k - x k - 1 x k

Seja menor que 0.8 % . Bom agora que já esclarecemos isso vamos partir em frente.

Passo 2

Ta pronto? Bebe uma água e toma coragem que esse é chatinho:

a 0 , b 0 = 6,8

ε = 0.008

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 7

f x 1 = f 7 ≅ - 6.2 6

f a 0 ∙ f x 1 = - 19.84 ∙ - 6.2 6 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 7,8

Critério de Parada:

Como não temos um chute inicial continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 7,8

ε = 0.00 8

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 7.5

f x 2 = f 7.5 ≅ 0.56

f a 1 ∙ f x 2 = - 6.26 ∙ 0.56 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 7,7.5

Critério de Parada:

x 2 - x 1 x 2 = 0.5 7.5 = 0.0667 > 0.008

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 7,7.5

ε = 0.00 8

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 7.25

f x 3 = f 7.25 ≅ - 2.85

f a 2 ∙ f x 3 = - 6.26 ∙ - 2.85 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 7.25,7.5

Critério de Parada:

x 3 - x 2 x 3 = 0.25 7 . 25 = 0 . 0345 > 0.008

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 7.25,7.5

ε = 0.00 8

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 7.375

f x 4 = f 7.375 ≅ - 1.14

f a 3 ∙ f x 4 = - 2.8 5 ∙ - 1.14 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 7.375 , 7.5

Critério de Parada:

x 4 - x 3 x 4 = 0 . 125 7.375 = 0.0 169 > 0.008

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 7.375 , 7.5

ε = 0.00 8

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 7.4375

f x 5 = f 7.4375 ≅ - 0.29

f a 4 ∙ f x 5 = - 1.14 ∙ - 0.29 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = x 5 , b 4 = 7.4375 , 7.5

Critério de Parada:

x 5 - x 4 x 5 = 0 . 0625 7.4375 = 0.0 084 > 0.008

Essa foi quase em haha. Mas como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 7.4375 , 7.5

ε = 0.00 8

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 7.46875

f x 6 = f 7.46875 ≅ 0.13

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.29 ∙ 0.13 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 7.4375 , 7.46875

Critério de Parada:

x 6 - x 5 x 6 = 0.03125 7.46875 = 0.00 42 < 0.008

Beleza! Nosso erro relativo está menor que a tolerância, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 7.4531 .

Resposta

Instante t = 7.4531 segundos.

Erro relativo por iteração:

k = 1 :   -

k = 2 : 6 . 67 %

k = 3 : 3.45 %

k = 4 : 1.69 %

k = 5 : 0.84 %

k = 6 : 0.42 %

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