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Exercícios Resolvidos de Método da Bisseção

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Exercício 213456789101112

Enunciado

Seja f x = e - x - x em 0,1 , faça:

a Mostre que f x é contínua no intervalo e teste se existe uma raiz no intervalo.

b Encontre o número de iterações k para uma precisão de ε = 10 - 3 usando o método da bisseção.

c Faça k iterações e forneça uma estimativa para a raiz.

Passo 1

a As funções e - x e x não possuem nenhuma descontinuidade no intervalo 0,1 , então nossa f x é contínua.

Para testar se tem uma raiz basta usarmos o teorema de Bolzano:

f 0 = 1

f 1 = 1 e - 1 ≅ - 0 . 632

Temos f 0 ∙ f 1 < 0 , logo existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

b Agora para acharmos o número de iterações só jogarmos naquela fórmula:

k > ln ⁡ b 0 - a 0 - ln ⁡ ε ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 0.001 ln ⁡ 2 ≅ 9.96 ⇒ k = 10

Beleza, precisamos de 10 iterações! Agora vamos aplicar nosso algoritmo!

Passo 3

c a 0 , b 0 = 0,1

ε = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 + b 0 2 = 0.5

f x 1 = f 0.5 ≅ 0.11

f a 0 ∙ f x 1 = 1 ∙ 0.1 1 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 0.5,1

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 1 - 0.5 = 0.5 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0.5,1

ε = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 + b 1 2 = 0.75

f x 2 = f 0.75 ≅ - 0.27

f a 1 ∙ f x 2 = 0.11 ∙ - 0.27 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 0.5,0.75

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.75 - 0.5 = 0.25 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.5,0.75

ε = 0.001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 + b 2 2 = 0.625

f x 3 = f 0.625 ≅ - 0.09

f a 2 ∙ f x 3 = 0.11 ∙ - 0.09 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 0.5,0.625

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.625 - 0.5 = 0.125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.5,0.625

ε = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 + b 3 2 = 0.5625

f x 4 = f 0.5625 ≅ 0.007

f a 3 ∙ f x 4 = 0.11 ∙ 0.007 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 0.5625 , 0.625

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.625 - 0.5625 = 0.0625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 0.5625 , 0.625

ε = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 + b 4 2 = 0.59375

f x 5 = f 0.59375 ≅ - 0.04

f a 4 ∙ f x 5 = 0.007 ∙ - 0.04 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 0.5625 , 0.59375

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.59375 - 0.5625 = 0.03125 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 0.5625 , 0.59375

ε = 0.001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 + b 5 2 = 0.578125

f x 6 = f 0.578125 ≅ - 0.017

f a 5 ∙ f x 6 = 0.007 ∙ - 0.017 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 0.5625 , 0.578125

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.578125 - 0.5625 = 0.015625 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 0.5625 , 0.578125

ε = 0.001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 + b 6 2 = 0.5703

f x 7 = f 0.5703 ≅ - 0.005

f a 6 ∙ f x 7 = 0.007 ∙ - 0.005 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 0.5625 , 0.5703

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0.5703 - 0.5625 = 0.0078 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 0.5625 , 0.5703

ε = 0.001

Iteração 8 :

x 8 = a 7 + b 7 2 = 0.5664

f x 8 = f 0.5664 ≅ 0.001

f a 7 ∙ f x 8 = 0.007 ∙ 0.001 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 8 e b 7 . Temos então que:

a 8 , b 8 = x 8 , b 7 = 0.5664 , 0.5703

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 0.5703 - 0.5664 = 0.0039 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 0.5664 , 0.5703

ε = 0.001

Iteração 9 :

x 9 = a 8 + b 8 2 = 0.5684

f x 9 = f 0.5683 ≅ - 0.002

f a 8 ∙ f x 9 = 0.001 ∙ - 0.00 2 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 8 e x 9 . Temos então que:

a 9 , b 9 = a 8 , x 9 = 0.5664 , 0.5684

Critério de Parada:

b 9 - a 9 = 0.5684 - 0.5664 = 0.002 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 9 , b 9 = 0.5664 , 0.5684

ε = 0.001

Iteração 10 :

x 10 = a 9 + b 9 2 = 0.567 4

f x 10 = f 0.5673 ≅ - 0.0004

f a 9 ∙ f x 10 = 0.001 ∙ - 0.0004 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 9 e x 10 . Temos então que:

a 10 , b 10 = a 9 , x 10 = 0.5664 , 0.567 4

Critério de Parada:

b 10 - a 10 = 0.567 4 - 0.56 6 4 = 0.001 = 0.001

Finalmente! Nosso intervalo está igual ao erro, então podemos parar por aqui e dar como resposta a aproximação para a raiz x - = 0.56 69 .

Resposta

b k = 10

c x - = 0.56 69

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