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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 1234567891011

Enunciado

Encontre uma aproximação para 6 com precisão de 10 - 4 utilizando o método da posição falsa.

Passo 1

Beleza, aqui nós temos que pensar um pouco, não é só sair jogando o algoritmo. Sempre que tiver algo desse tipo você vai querer se livrar da raiz (ninguém gosta dessa bagaça). Então você faz o seguinte:

6 2 = 6

6 2 - 6 = 0

E como você quer encontrar uma aproximação para a raiz de seis é só substituir ela pelo x :

x 2 - 6 = 0

Opa, agora já ta parecendo algo que a gente possa usar né? Falta só um intervalo que contenha a raiz. 6 está entre 4 e 9 concorda? Então sabemos que ele está no intervalo 2,3 . E de fato,

f 2 ∙ f 3 = - 2 ∙ 3 < 0

Logo, podemos usar o método da posição falsa! Agora é só jogar no algoritmo e partir pro abraço ;)

Passo 2

a 0 , b 0 = 2,3

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 2.4

f x 1 = f 2.4 ≅ - 0.24

f a 0 ∙ f x 1 = - 2 ∙ - 0.24 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 2.4,3

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.6 > 0.0001

f a 1 = 0.24 > 0.0001

f b 1 = 3 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 2.4,3

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 2.44444

f x 2 = f 2.44444 ≅ - 0.02469

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.24 ∙ - 0.02469 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 2.44444 , 3

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.55556 > 0.0001

f a 2 = 0.02469 > 0.0001

f b 2 = 3 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 2.44444 , 3

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 2.44898

f x 3 = f 2.44898 ≅ - 0.0025

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.02469 ∙ - 0.002 5 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 2.44898 , 3

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.55102 > 0.0001

f a 3 = 0.0025 > 0.0001

f b 3 = 3 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 2.44898,3

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 2.44944

f x 4 = f 2.44944 ≅ - 0.00025

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.0025 ∙ - 0.00025 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 2.44944 , 3

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.55056 > 0.0001

f a 4 = 0.00025 > 0.0001

f b 4 = 3 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 2.44944,3

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 2.44948

f x 5 = f 2.44948 ≅ - 2 ∙ 10 - 5

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.00025 ∙ - 2 ∙ 10 - 5 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = x 5 , b 4 = 2.44948 , 3

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.55052 > 0.0001

f a 5 = 2 ∙ 10 - 5 < 0.0001

f b 5 = 3 > 0.0001

E chegamos na nossa aproximação para 6 . x - = 2.44948 .

Resposta

x - = 2.44948 .