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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 4123567891011

Enunciado

Seja f x = x 2 - 4 x + 4 - ln ⁡ x com um zero no intervalo 1 , 2 . Calcule a raiz de f x com precisão de ε = 10 - 4 utilizando o método da posição falsa.

Passo 1

a 0 , b 0 = 1,2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 1.59062

f x 1 = f 1.59062 ≅ - 0.29653

f a 0 ∙ f x 1 = 1 ∙ - 0.29653 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 1,1.59062

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.59062 > 0.0001

f a 1 = 1 > 0.0001

f b 1 = 0.29653 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 1,1.59062

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 1.45554

f x 2 = f 1.45554 ≅ - 0.07894

f a 1 ∙ f x 2 = 1 ∙ - 0.07894 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 1,1.45554

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.45554 > 0.0001

f a 2 = 1 > 0.0001

f b 2 = 0.07894 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 1,1.45554

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 1.42221

f x 3 = f 1.42221 ≅ - 0.01837

f a 2 ∙ f x 3 = 1 ∙ - 0.01837 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 1,1.42221

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0 . 42221 > 0.0001

f a 3 = 1 > 0.0001

f b 3 = 0.01837 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 1,1.42221

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 1.41459

f x 4 = f 1.41459 ≅ - 0.00414

f a 3 ∙ f x 4 = 1 ∙ - 0.00414 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 1 , 1.41459

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0 . 41459 > 0.0001

f a 4 = 1 > 0.0001

f b 4 = 0.00414 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 1 , 1.41459

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 1.41288

f x 5 = f 1.41288 ≅ - 0.00093

f a 4 ∙ f x 5 = 1 ∙ - 0.00093 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 1 , 1.41288

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0 . 41288 > 0.0001

f a 5 = 1 > 0.0001

f b 5 = 0.00093 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 1 , 1.41288

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = 1.4125

f x 6 = f 1.4125 ≅ - 0.00021

f a 5 ∙ f x 6 = 1 ∙ - 0.00021 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 1 , 1.4125

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0 . 4125 > 0.0001

f a 6 = 1 > 0.0001

f b 6 = 0.00021 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 1 , 1.4125

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 f b 6 - b 6 f a 6 f b 6 - f a 6 = 1.41242

f x 7 = f 1.41242 ≅ - 4 ∙ 10 - 5

f a 6 ∙ f x 7 = 1 ∙ - 4 ∙ 10 - 5 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 1 , 1.41242

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0 . 41242 > 0.0001

f a 7 = 1 > 0.0001

f b 7 = 4 ∙ 10 - 5 < 0.0001

Aê, chegamos no critério de parada! Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 1.41242 .

Resposta

x - = 1.41242 .