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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 1012345678911

Enunciado

Seja f x = x 3 + 3 x 2 - 1 com um zero no intervalo - 3 , - 2 . Calcule a raiz de f x com precisão de ε = 10 - 5 utilizando o método da posição falsa.

Passo 1

a 0 , b 0 = - 3 , - 2

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = - 2.75

f x 1 = f - 2.75 ≅ 0.890625

f a 0 ∙ f x 1 = - 1 ∙ 0.890625 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = - 3 , - 2.75

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.25 > 0.00001

f a 1 = 1 > 0.00001

f b 1 = 0.890625 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = - 3 , - 2.75

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = - 2.867769

f x 2 = f - 2.867769 ≅ 0.087484

f a 1 ∙ f x 2 = - 1 ∙ 0.087484 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = - 3 , - 2.867769

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.132231 > 0.00001

f a 2 = 1 > 0.00001

f b 2 = 0.087484 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = - 3 , - 2.867769

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = - 2.878406

f x 3 = f - 2.878406 ≅ 0.007432

f a 2 ∙ f x 3 = - 1 ∙ 0.007432 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = - 3 , - 2.878406

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.121594 > 0.00001

f a 3 = 1 > 0.00001

f b 3 = 0.007432 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = - 3 , - 2.878406

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = - 2.879303

f x 4 = f - 2.879303 ≅ 0.000623

f a 3 ∙ f x 4 = - 1 ∙ 0.000623 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = - 3 , - 2.879303

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.120697 > 0.00001

f a 4 = 1 > 0.00001

f b 4 = 0.000623 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = - 3 , - 2.879303

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = - 2.879378

f x 5 = f - 2.879378 ≅ 5.2 ∙ 10 - 5

f a 4 ∙ f x 5 = - 1 ∙ 5.2 ∙ 10 - 5 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = - 3 , - 2.879378

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.120622 > 0.00001

f a 5 = 1 > 0.00001

f b 5 = 5.2 ∙ 10 - 5 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = - 3 , - 2.879378

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = - 2.879385

f x 6 = f - 2.879385 ≅ 4 ∙ 10 - 6

f a 5 ∙ f x 6 = - 1 ∙ 4 ∙ 10 - 6 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = - 3 , - 2.879385

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.120615 > 0.00001

f a 6 = 1 > 0.00001

f b 6 = 4 ∙ 10 - 6 < 0.00001

Pronto, chegamos na aproximação com a precisão pedida. A raiz é então, com precisão de 10 - 5 , x - = - 2.879385 .

Resposta

x - = - 2.879385 .