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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 5123467891011

Enunciado

Seja f x = sin ⁡ x - e - x com zeros nos intervalos 3,4 e 6,7 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para as raízes de f com precisão de 10 - 5 .

Passo 1

Vamos começar com 3,4 :

a 0 , b 0 = 3,4

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 3.10541

f x 1 = f 3.10541 ≅ - 0.008632

f a 0 ∙ f x 1 = 0.091333 ∙ - 0.008632 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 3 , 3.10541

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.10541 > 0.00 0 01

f a 1 = 0.091333 > 0.0 0 001

f b 1 = 0.008 632 > 0.0 0 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 3,3.10541

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 3.096308

f x 2 = f 3.096308 ≅ 0.00005

f a 1 ∙ f x 2 = 0.091333 ∙ 0.00005 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 3.096308 , 3.10541

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.009102 > 0.00 0 01

f a 2 = 0.00005 > 0.0 0 001

f b 2 = 0.008632 > 0.00 0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 3.096308 , 3.10541

ε 1 = ε 2 = 0.00 0 01

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 3.096364

f x 3 = f 3.096364 ≅ 2 ∙ 10 - 8

f a 2 ∙ f x 3 = 5 ∙ 10 - 5 ∙ 2 ∙ 10 - 8 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 3.096364 , 3.10541

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.009046 > 0.0 0 001

f a 3 = 2 ∙ 10 - 8 < 0.00 0 01

f b 3 = 0.008632 > 0.0 0 001

Opa, chegamos na precisão que queríamos! Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 3.096364 .

Passo 2

Próximo intervalo agora:

a 0 , b 0 = 6,7

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 6.300537

f x 1 = f 6.300536 ≅ 0.015515

f a 0 ∙ f x 1 = - 0.281894 ∙ 0.015515 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 6 , 6.300537

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.300537 > 0.00001

f a 1 = 0.281894 > 0.00001

f b 1 = 0.015515 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 6,6.300537

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 6.284858

f x 2 = f 6.284858 ≅ - 0.000191

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.281894 ∙ - 0.000191 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 6.284858 , 6.300537

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.015679 > 0.00001

f a 2 = 0.000191 > 0.00001

f b 2 = 0.015515 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 6.284858 , 6.300537

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 6.285049

f x 3 = f 6.285049 ≅ 1 ∙ 10 - 8

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.000191 ∙ 1 ∙ 10 - 8 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 6.284858 , 6.285049

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.000191 > 0.00001

f a 3 = 0.000191 < 0.00001

f b 3 = 1 ∙ 10 - 8 < 0.00001

Fim de papo! Quem dera sempre fosse tão rápido né? Só três iterações haha. Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 6.285049 .

Resposta

x - = 3.096364 e x - = 6.285049 .