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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

Ver Teoria
Exercício 2134567891011

Enunciado

Seja f x = x - 0.8 - 0.2 sin ⁡ x com zero no intervalo 0 , π 2 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 4 .

Passo 1

Beleza, vamos aplicar nosso algoritmo:

a 0 , b 0 = 0 , π 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 1.25663 1.3708 = 0.91672

f x 1 = f 0.91672 ≅ - 0.042

f a 0 ∙ f x 1 = - 0.8 ∙ - 0.042 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 0.91672 , π 2

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = π 2 - 0.91672 = 0.65408 > 0.0001

f a 1 = 0.042 > 0.0001

f b 1 = 0.5708 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0.91672 , π 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 0.58924 0.6128 = 0.96155

f x 2 = f 0.96155 ≅ - 0.00246

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.042 ∙ - 0.00246 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 0.96155 , π 2

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = π 2 - 0.96155 = 0.60925 > 0.0001

f a 2 = 0.00246 > 0.0001

f b 2 = 0.5708 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.96155 , π 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 0.55272 0.57326 = 0.96417

f x 3 = f 0.96417 ≅ - 0.00014

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.00246 ∙ - 0.00014 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 0.96417 , π 2

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = π 2 - 0.96417 = 0.60663 > 0.0001

f a 3 = 0.00014 > 0.0001

f b 3 = 0.5708 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.96417 , π 2

ε 1 = ε 2 = 0 . 0001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 0.55057 0.57094 = 0.96432

f x 4 = f 0.96432 ≅ - 0.000008

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.00014 ∙ - 0.000008 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 0.96432 , π 2

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = π 2 - 0.96432 = 0.60647 > 0.0 001

f a 4 = 0.000008 = 8 ∙ 10 - 6 < 0.00 01

f b 4 = 0.5708 > 0.00 01

Beleza, ultrapassamos nosso critério de parada! Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 0.96432 .

Resposta

x - = 0.96432 .