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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

Ver Teoria
Exercício 8123456791011

Enunciado

Seja f x = ln ⁡ x - 1 + cos ⁡ x - 1 = 0 com zero no intervalo 1.3,2 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 4 .

Passo 1

Beleza, vamos aplicar nosso algoritmo:

a 0 , b 0 = 1.3,2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 1.52061

f x 1 = f 1.52061 ≅ 0.21476

f a 0 ∙ f x 1 = - 0.24864 ∙ 0.21476 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 1.3,1.52061

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.22061 > 0.0001

f a 1 = 0.24864 > 0.0001

f b 1 = 0.21476 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 1.3,1.52061

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 1.41837

f x 2 = f 1.41837 ≅ 0.04236

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.24864 ∙ 0.04236 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 1.3,1.41837

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.11837 > 0.0001

f a 2 = 0.24864 > 0.0001

f b 2 = 0.04236 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 1.3,1.41837

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 1.40114

f x 3 = f 1.40114 ≅ 0.00717

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.24864 ∙ 0.00716 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 1.3,1.40114

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.10114 > 0.0001

f a 3 = 0.24864 > 0.0001

f b 3 = 0.00716 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 1.3,1.40114

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 1.3983

f x 4 = f 1.3983 ≅ 0.00118

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.24864 ∙ 0.00118 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 1.3 , 1.3983

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.0983 > 0.0001

f a 4 = 0.24864 > 0.0001

f b 4 = 0.00118 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 1.3 , 1.3983

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 1.39784

f x 5 = f 1.39784 ≅ 0.00019

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.24864 ∙ 0.00019 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 1.3,1.39784

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.09784 > 0.0001

f a 5 = 0.24864 > 0.0001

f b 5 = 0.00019 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 1.3,1.39784

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = 1.39776

f x 6 = f 1.39776 ≅ 0.0000 3

f a 5 ∙ f x 6 = - 0 . 24864 ∙ 0.00003 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 1.3 , 1.39776

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.09776 > 0.0001

f a 6 = 0.24864 > 0.0001

f b 6 = 0.00003 < 0.0001

Beleza, ultrapassamos nosso critério de parada! Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 1.39776 .

Resposta

x - = 1.39776 .