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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 7123456891011

Enunciado

Seja f x = - x 3 - cos ⁡ x com zero no intervalo - 1,0 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 3 .

Passo 1

a 0 , b 0 = - 1,0

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 1 - 1.4596 = - 0.6851

f x 1 = f - 0.6851 ≅ - 0.4529

f a 0 ∙ f x 1 = 0.4597 ∙ - 0.4529 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = - 1 , - 0.6851

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = - 0.6851 - - 1 = 0.3149 > 0.001

f a 1 = 0.4597 > 0.001

f b 1 = 0.4529 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = - 1 , - 0.6851

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 0.7678 - 0.9125 = - 0.8414

f x 2 = f - 0.8414 ≅ - 0.0709

f a 1 ∙ f x 2 = 0.4597 ∙ - 0.0709 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = - 1 , - 0.8414

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = - 0.8414 - - 1 = 0.1586 > 0.0 01

f a 2 = 0.4597 > 0 . 001

f b 2 = 0.0709 > 0.0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = - 1 , - 0.8414

ε 1 = ε 2 = 0 . 001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 0.4576 - 0.5306 = - 0.8625

f x 3 = f - 0.8625 ≅ - 0.0088

f a 2 ∙ f x 3 = 0.4597 ∙ - 0.0088 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = - 1 , - 0.8625

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = - 0.8625 - - 1 = 0.1374 > 0.0 01

f a 3 = 0.4597 > 0 . 001

f b 3 = 0.0088 > 0 . 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = - 1 , - 0.8625

ε 1 = ε 2 = 0.0 01

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 0 . 4053 - 0.4685 = - 0.8651

f x 4 = f - 0.8651 ≅ - 0.0012

f a 3 ∙ f x 4 = 0.4597 ∙ - 0.0010 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = - 1 , - 0.8651

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = - 0.8651 - - 1 = 0.1349 > 0.0 01

f a 4 = 0.4597 > 0 . 001

f b 4 = 0.0012 > 0.0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = - 1 , - 0.8651

ε 1 = ε 2 = 0 . 001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 0.3987 - 0.4608 = - 0.8654

f x 5 = f - 0.8654 ≅ - 0.0001

f a 4 ∙ f x 5 = 0.4597 ∙ - 0.0001 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = - 1 , - 0.8654

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = - 0.8654 - - 1 = 0.1346 > 0.00001

f a 5 = 0.4597 > 0 . 001

f b 5 = 0.0001 < 0.00 1

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = - 0.8654 .

Resposta

x - = - 0.8654 .