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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 6123457891011

Enunciado

Seja f x = 2 x c o s 2 x - x - 2 2 com zero no intervalo 2,3 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 5 .

Passo 1

a 0 , b 0 = 2,3

ε 1 = ε 2 = 0.000 0 1

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 2.35449

f x 1 = f 2.35449 ≅ - 0.141717

f a 0 ∙ f x 1 = - 2.614574 ∙ - 0.141716 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 2.35449,3

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.64551 > 0.0 0 001

f a 1 = 0.141717 > 0.0 0 001

f b 1 = 4.761022 > 0.0 0 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 2.35449,3

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 2.373149

f x 2 = f 2.373149 ≅ 0.021669

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.141717 ∙ 0.021669 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 2.35449 , 2.373149

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.018659 > 0.00 0 01

f a 2 = 0.141717 > 0.00 0 01

f b 2 = 0.021669 > 0.0 0 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 2.35449,2.373149

ε 1 = ε 2 = 0.00 0 01

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 2.370674

f x 3 = f 2.370674 ≅ - 0.000113

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.141717 ∙ - 0.000113 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 2.370674 , 2.373149

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.002475 > 0.0 0 001

f a 3 = 0.000113 > 0.00 0 01

f b 3 = 0.021669 > 0.0 0 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 2.370674 , 2.373149

ε 1 = ε 2 = 0.00 0 01

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 2.370686

f x 4 = f 2.370686 ≅ - 8 ∙ 10 - 8

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.000113 ∙ - 8 ∙ 10 - 8 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 2.370686 , 2.373149

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.002462 > 0.0 0 001

f a 4 = 8 ∙ 10 - 8 < 0.0 0 001

f b 4 = 0.021669 > 0.0 0 001

Beleza, ultrapassamos nosso critério de parada! Essa até que foi rápida. Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 2.370686 .

Resposta

x - = 2.370686 .