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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 3124567891011

Enunciado

Seja f x = e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 com zero no intervalo 1,2 . Use o método da posição falsa para encontrar uma aproximação para a raiz de f com precisão de 10 - 4 .

Passo 1

Beleza, vamos aplicar nosso algoritmo:

a 0 , b 0 = 1,2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 4.2089 9 2.50788 = 1.67831

f x 1 = f 1.67831 ≅ - 0.54567

f a 0 ∙ f x 1 = - 1.70111 ∙ - 0.54567 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 1 e b 0 . Temos então que:

a 1 , b 1 = x 1 , b 0 = 1.67831 , 2

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 2 - 1.67831 = 0.32169 > 0.0001

f a 1 = 0.54567 > 0.0001

f b 1 = 0.80676 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 1.67831 , 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 2.44534 1.35244 = 1.8081

f x 2 = f 1.8081 ≅ - 0.08574

f a 1 ∙ f x 2 = - 0.54567 ∙ - 0.08574 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 2 e b 1 . Temos então que:

a 2 , b 2 = x 2 , b 1 = 1.8081 , 2

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 2 - 1.8081 = 0.1919 > 0.0001

f a 2 = 0.0857 4 > 0.0001

f b 2 = 0.80676 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 1.8081 , 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 1.63019 0.8925 = 1.82654

f x 3 = f 1.82654 ≅ - 0.01165

f a 2 ∙ f x 3 = - 0.08574 ∙ - 0.01165 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 3 e b 2 . Temos então que:

a 3 , b 3 = x 3 , b 2 = 1.82654 , 2

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 2 - 1.82654 = 0.17346 > 0.0001

f a 3 = 0.01165 > 0.0001

f b 3 = 0.80676 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 1.82654 , 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 1.82901

f x 4 = f 1.82901 ≅ - 0.00155

f a 3 ∙ f x 4 = - 0.01165 ∙ - 0.00155 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 4 e b 3 . Temos então que:

a 4 , b 4 = x 4 , b 3 = 1.82901 , 2

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 2 - 1.82901 = 0.17099 > 0.0001

f a 4 = 0.00155 > 0.0001

f b 4 = 0.80676 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 1.82901 , 2

ε 1 = ε 2 = 0.0 001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 1.82933

f x 5 = f 1.82933 ≅ - 0.00021

f a 4 ∙ f x 5 = - 0.00155 ∙ - 0.00021 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 5 e b 4 . Temos então que:

a 5 , b 5 = x 5 , b 4 = 1.82933 , 2

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 2 - 1.82933 = 0.17067 > 0.0 001

f a 5 = 0.00021 > 0.00 01

f b 5 = 0.80676 > 0.0 001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 1.82933 , 2

ε 1 = ε 2 = 0.0 001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = 1.82938

f x 6 = f 1.82938 ≅ - 0.0 0003

f a 5 ∙ f x 6 = - 0.00021 ∙ - 0.00003 > 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por x 6 e b 5 . Temos então que:

a 6 , b 6 = x 6 , b 5 = 1.82938 , 2

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 2 - 1.82938 = 0.17062 > 0.000 1

f a 6 = 0.00003 < 0.0 001

f b 6 = 0.80676 > 0.00 01

Beleza, ultrapassamos nosso critério de parada! Então uma aproximação para a nossa raiz é x - = 1.82938 .

Resposta

x - = 1.82938 .