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Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Exercício 9123456781011

Enunciado

Seja f x = x + ln ⁡ x com um zero no intervalo 0.2,2 . Calcule a raiz de f x com precisão de ε = 10 - 5 utilizando o método da posição falsa.

Passo 1

a 0 , b 0 = 0.2,2

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 1 :

x 1 = a 0 f b 0 - b 0 f a 0 f b 0 - f a 0 = 3.357505 4.102585 = 0.818388

f x 1 = f 0.818388 ≅ 0.618

f a 0 ∙ f x 1 = - 1.41 ∙ 0.618 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 0 e x 1 . Temos então que:

a 1 , b 1 = a 0 , x 1 = 0.2,0.818388

Critério de Parada:

b 1 - a 1 = 0.818388 - 0.2 = 0.618388 > 0.00001

f a 1 = 1.409438 > 0.00001

f b 1 = 0.617969 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 1 , b 1 = 0.2,0.818388

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 2 :

x 2 = a 1 f b 1 - b 1 f a 1 f b 1 - f a 1 = 1.27706 2.027407 = 0.629899

f x 2 = f 0.629899 ≅ 0.168

f a 1 ∙ f x 2 = - 1.41 ∙ 0.168 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 1 e x 2 . Temos então que:

a 2 , b 2 = a 1 , x 2 = 0.2,0.629899

Critério de Parada:

b 2 - a 2 = 0.629899 - 0.2 = 0.429899 > 0.00001

f a 2 = 1.409438 > 0.00001

f b 2 = 0.167702 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 2 , b 2 = 0.2,0.629899

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 3 :

x 3 = a 2 f b 2 - b 2 f a 2 f b 2 - f a 2 = 0.921343 1.57714 = 0.584186

f x 3 = f 0.584186 ≅ 0.047

f a 2 ∙ f x 3 = - 1.41 ∙ 0.047 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 2 e x 3 . Temos então que:

a 3 , b 3 = a 2 , x 3 = 0.2,0.584186

Critério de Parada:

b 3 - a 3 = 0.584186 - 0.2 = 0.384186 > 0.00001

f a 3 = 1.409438 > 0.00001

f b 3 = 0.046650 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 3 , b 3 = 0.2,0.584186

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 4 :

x 4 = a 3 f b 3 - b 3 f a 3 f b 3 - f a 3 = 0.832704 1.456088 = 0.571877

f x 4 = f 0.571877 ≅ 0.013

f a 3 ∙ f x 4 = - 1.41 ∙ 0.013 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 3 e x 4 . Temos então que:

a 4 , b 4 = a 3 , x 4 = 0.2,0.571877

Critério de Parada:

b 4 - a 4 = 0.571877 - 0.2 = 0.371877 > 0.00001

f a 4 = 1.409438 > 0.00001

f b 4 = 0.013047 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 4 , b 4 = 0.2,0.571877

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 5 :

x 5 = a 4 f b 4 - b 4 f a 4 f b 4 - f a 4 = 0.808635 1.422485 = 0.568466

f x 5 = f 0.568466 ≅ 0.004

f a 4 ∙ f x 5 = - 1.41 ∙ 0.004 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 4 e x 5 . Temos então que:

a 5 , b 5 = a 4 , x 5 = 0.2,0.568466

Critério de Parada:

b 5 - a 5 = 0.568466 - 0.2 = 0.368466 > 0.00001

f a 5 = 1.409438 > 0.00001

f b 5 = 0.003655 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 5 , b 5 = 0.2,0.568466

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 6 :

x 6 = a 5 f b 5 - b 5 f a 5 f b 5 - f a 5 = 0.801949 1.413092 = 0.567514

f x 6 = f 0.567514 ≅ 0.001

f a 5 ∙ f x 6 = - 1.41 ∙ 0.001 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 5 e x 6 . Temos então que:

a 6 , b 6 = a 5 , x 6 = 0.2,0.567514

Critério de Parada:

b 6 - a 6 = 0.567514 - 0.2 = 0.367514 > 0.00001

f a 6 = 1.409438 > 0.00001

f b 6 = 0.001024 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 6 , b 6 = 0.2,0.567514

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 7 :

x 7 = a 6 f b 6 - b 6 f a 6 f b 6 - f a 6 = 0.80008 1.410461 = 0.567247

f x 7 = f 0.567247 ≅ 0.0003

f a 6 ∙ f x 7 = - 1.41 ∙ 0.0003 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 6 e x 7 . Temos então que:

a 7 , b 7 = a 6 , x 7 = 0.2,0.567247

Critério de Parada:

b 7 - a 7 = 0.567247 - 0.2 = 0.367247 > 0.00001

f a 7 = 1.409438 > 0.00001

f b 7 = 0.000287 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 7 , b 7 = 0.2,0.567247

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 8 :

x 8 = a 7 f b 7 - b 7 f a 7 f b 7 - f a 7 = 0.799557 1.409725 = 0.567172

f x 8 = f 0.567172 ≅ 0.00008

f a 7 ∙ f x 8 = - 1.41 ∙ 0.00008 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 7 e x 8 . Temos então que:

a 8 , b 8 = a 7 , x 8 = 0.2,0.567172

Critério de Parada:

b 8 - a 8 = 0.567172 - 0.2 = 0.367172 > 0.00001

f a 8 = 1.409438 > 0.00001

f b 8 = 0.00008 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 0.2,0.567247

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 9 :

x 9 = a 8 f b 8 - b 8 f a 8 f b 8 - f a 8 = 0.79941 1.409518 = 0.567151

f x 9 = f 0.567151 ≅ 0.000023

f a 8 ∙ f x 9 = - 1.41 ∙ 0.000023 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 8 e x 9 . Temos então que:

a 9 , b 9 = a 8 , x 9 = 0.2,0.567151

Critério de Parada:

b 9 - a 9 = 0.567151 - 0.2 = 0.367151 > 0.00001

f a 9 = 1.409438 > 0.00001

f b 9 = 0.000023 > 0.00001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

a 8 , b 8 = 0.2,0.567247

ε 1 = ε 2 = 0.00001

Iteração 10 :

x 10 = a 9 f b 9 - b 9 f a 9 f b 9 - f a 9 = 0.799369 1.40946 = 0.567146

f x 10 = f 0.567146 ≅ 0.000006

f a 9 ∙ f x 10 = - 1.41 ∙ 0.000006 < 0

Logo, nosso novo intervalo será formado por a 9 e x 10 . Temos então que:

a 10 , b 10 = a 9 , x 10 = 0.2,0.567145

Critério de Parada:

b 10 - a 10 = 0.567146 - 0.2 = 0.367146 > 0.00001

f a 10 = 1.409438 > 0.00001

f b 10 = 0.000006 = 6 ∙ 10 - 6 < 0.00001

Ufa! Finalmente chegamos na precisão que queríamos! Esse é um exemplo clássico de uma situação em que esse método pode dar muuuuito errado. Repara que nós estávamos bem próximos da nossa aproximação desde a iteração 5 , mas quanto mais perto nós ficávamos mais lentamente a gente ia se aproximando! Se estivéssemos usando apenas a distância do intervalo como critério de parada por exemplo, íamos passar a vida toda aqui e não íamos chegar no resultado haha.

A raiz é então, com precisão de 10 - 5 , x - = 0.567146 .

Resposta

x - = 0.567146 .