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Exercícios Resolvidos de Método de Newton

Ver Teoria
Exercício 412356

Enunciado

Use o método de Newton com x 0 = 0 para calcular x 2 nos sistemas não-lineares abaixo:

a x 1 2 + x 2 - 37 = 0 x 1 - x 2 2 - 5 = 0 x 1 + x 2 + x 3 - 3 = 0

b 15 x 1 + x 2 2 - 4 x 3 = 13 x 1 2 + 10 x 2 - x 3 = 11 x 3 3 - 25 x 3 = - 22

Passo 1

a Beleza, temos que:

F x = x 1 2 + x 2 - 37 x 1 - x 2 2 - 5 x 1 + x 2 + x 3 - 3

Primeiro precisamos encontrar a matriz Jacobiana!

J x = ∂ f 1 x ∂ x 1 ∂ f 1 x ∂ x 2 ∂ f 1 x ∂ x 3 ∂ f 2 x ∂ x 1 ∂ f 2 x ∂ x 2 ∂ f 2 x ∂ x 3 ∂ f 3 x ∂ x 1 ∂ f 3 x ∂ x 2 ∂ f 3 x ∂ x 3 = 2 x 1 1 0 1 - 2 x 2 0 1 1 1

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = 0 1 0 1 0 0 1 1 1

F x 0 = - 37 - 5 - 3

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

0 1 0 1 0 0 1 1 1 s 1 0 s 2 0 s 3 0 = 37 5 3

Chegando em:

s 0 = 5 37 - 39

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = 0 0 0 + 5 37 - 39 = 5 37 - 39

Normalmente agora seria a hora de testarmos o critério de parada, mas como a questão só pede para encontrarmos x 2 vamos continuar!

Iteração 2:

Calculando J x 1 e F x 1 :

J x 1 = 10 1 0 1 - 74 0 1 1 1

F x 1 = 25 - 1369 0

Resolvemos o sistema J x 1 s 1 = - F x 1 :

10 1 0 1 - 74 0 1 1 1 s 1 1 s 2 1 s 3 1 = - 25 1369 0

Chegando em:

s 1 = - 0.649 - 18.509 19.158

Então,

x 2 = x 1 + s 1 = 5 37 - 39 + - 0.649 - 18.509 19.158 = 4.351 18.491 - 19.842

Passo 2

c Nessa letra vamos ter que jogar as constantes pro outro lado, já que só sabemos achar o zero dessas funções! Então ficamos com:

F x = 15 x 1 + x 2 2 - 4 x 3 - 13 x 1 2 + 10 x 2 - x 3 - 11 x 3 3 - 25 x 3 + 22

Agora encontramos a matriz Jacobiana:

J x = ∂ f 1 x ∂ x 1 ∂ f 1 x ∂ x 2 ∂ f 1 x ∂ x 3 ∂ f 2 x ∂ x 1 ∂ f 2 x ∂ x 2 ∂ f 2 x ∂ x 3 ∂ f 3 x ∂ x 1 ∂ f 3 x ∂ x 2 ∂ f 3 x ∂ x 3 = 15 2 x 2 - 4 2 x 1 10 - 1 0 0 3 x 3 2 - 25

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = 15 0 - 4 0 10 - 1 0 0 - 25

F x 0 = - 13 - 11 22

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

15 0 - 4 0 10 - 1 0 0 - 25 s 1 0 s 2 0 s 3 0 = 13 11 - 22

Chegando em:

s 0 = 1.101 1.188 0.880

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = 0 0 0 + 1.101 1.188 0.880 = 1.101 1.188 0.880

Iteração 2:

Calculando J x 1 e F x 1 :

J x 1 = 15 2.376 - 4 2.202 10 - 1 0 0 - 22.677

F x 1 = 1.406 1.212 0.681

Resolvemos o sistema J x 1 s 1 = - F x 1 :

15 2.376 - 4 2.202 10 - 1 0 0 - 22.677 s 1 1 s 2 1 s 3 1 = - 1.406 - 1.212 - 0.681

Chegando em:

s 1 = - 0.069 - 0.103 0.030

Então,

x 2 = x 1 + s 1 = 1.101 1.188 0.880 + - 0.069 - 0.103 0.030 = 1.032 1.085 0.910

Resposta

a x 2 = 4.351 18.491 - 19.842

b x 2 = 1.032 1.085 0.910

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