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Exercícios Resolvidos de Movimento Retilíneo

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Exercício 41235678

Enunciado

A posição de uma partícula é dada por s = 2 t 3 - 40 t 2 + 200 t - 50 , onde s é em metros e t é em segundos. Represente graficamente a posição, velocidade, e aceleração como funções do tempo para os primeiros 12   segundos de movimento. Determine o instante em que a velocidade é zero.

Passo 1

Bom, como vimos, a derivada da posição pelo tempo é a velocidade:

v t = d s t d t = 6 t 2 - 80 t + 200

E a aceleração é a derivada da velocidade, também pelo tempo (ou segunda derivada da posição):

a t = d v t d t = d 2 s t d t 2 = 12 t - 80

Passo 2

Galera, vamos construir os gráficos aqui. Acho legal começarmos pelo gráfico da aceleração, que é uma reta:

a t = 12 t - 80

Sendo uma reta a gente precisa apenas de dois pontos para traçar o gráfico, vamos fazer então t = 0 e a = 0 . Dessa forma, a gente acha os seguintes pontos:

a = 12 0 - 80

a = - 80

E

0 = 12 t - 80

t = 6,67   s

Então achamos os dois pontos ( t , a ) :

0   ;   - 80   e   ( 6,67   ; 0 )

Assim podemos traçar o gráfico:

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico da velocidade, que é uma parábola:

v t = 6 t 2 - 80 t + 200

Para uma parábola nós precisamos de três pontos para desenhar o gráfico. Sendo assim, vamos encontrar as duas raízes e o ponto onde a função corta o eixo y .

Começando pelo ponto onde a função corta o eixo y vamos ter:

v t = 6 ( 0 ) 2 - 80 ( 0 ) + 200

v = 200

Logo, temos o ponto ( 0   ;   200 ) . Agora partiu para as raízes:

t = 80 ± ( - 80 ) 2 - 4 ( 6 ) ( 200 ) 2 ( 6 )

t = 80 ± 40 1 2

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Portanto, temos os pontos ( 10   ; 0 ) e ( 3,33   ; 0 ) . Então o gráfico da velocidade fica desta forma:

Passo 4

E podemos fazer o gráfico do deslocamento também. Pessoal, esse gráfico já um pouco mais chato e precisa de 4 pontos para ser produzido. Então vou colocar o gráfico aqui e vamos apenas fazer algumas análises:

A primeira derivada (que é a velocidade) nos fornece os máximos e mínimos locais quando se iguala a zero. Dá pra ver pelo gráfico que são os mesmos valores de t :

t 1 = 3,33   s

t 2 = 10   s

Além disso, temos também os pontos de inflexão que são dados pela segunda derivada (que é a aceleração), perceba que o ponto também tem o mesmo valor de t :

t = 6,67   s

Maneiro né!?

Passo 5

O instante em que a velocidade é nula nós já temos, que foi calculado no passo 3 e valem:

t = 10   s   o u   t = 3,33   s

Resposta

s t :

v t :

a t :

E:

t 1 = 10 s   e   t 2 = 3,33 s

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